폴리매스

어려운 버전:

일정한 면밀도에서 2차원 단일 물체의 질량중심을 지나며 자신의 면과 수직한 축에 대한 관성모멘트와 질량 쌍의 유일성을 설명하여라.

쉬운 버전:

어떤 2차원 도형 하나를 설명하려고 합니다. 이 도형의 성질에는 넓이가 있겠죠? 근데 넓이가 같은 도형은 수없이 많습니다. 그래서 다른 성질을 추가할 겁니다. 이 도형을 균일한, 밀도가 일정한 종이에 그려서 자르면 넓이는 곧 질량이 되겠죠? 질량은 이 도형을 일정한 힘으로 밀었을 때 직선으로 운동하는 가속도를 결정하는, 즉 병진운동의 관성 역할을 합니다. 그렇다면 회전운동에 대한 관성을 조건으로 추가하면 어떨까요? 회전운동에 대한 관성, 즉 관성모멘트는 돌리는 중심 축에 따라 달라집니다. 그래서 운동의 기준이 되는 점인 질량중심을 지나면서 자신의 면과 수직한 축을 기준으로 잡을 겁니다. 질량중심은 이 도형의 질량이 모두 모여 있다고 할 수 있는 점인데, 원점을 하나 잡고 이 도형을 잘게 쪼갠 다음 각 조각마다 원점과의 좌푯값에 질량을 곱한 걸 다 더해서, 즉 적분해서 전체 질량으로 나누면 질량중심의 좌표가 됩니다. 회전모멘트도 비슷합니다. 잘게 쪼갠 조각들의 회전축으로부터의 거리의 제곱과 질량의 곱을 다 더하면 관성모멘트가 됩니다. 이렇게 평면도형의 두 가지 성질, 병진운동에 대한 관성인 질량과 회전운동에 대한 관성인 질량중심 수직축에 대한 곤성모멘트가 주어지면 그 물체의 모양을 하나로 결정할 수 있을까요? 참, 당연히 돌리거나 뒤집어서 같으면 같은 모양입니다. 

소문제:

위의 조건에서, 물체가 원 모양일 경우 다른 모양으로 두 성질이 같을 수 없음만 보여 주셔도 해결 드리겠습니다.

참고자료:

질량중심-https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A7%88%EB%9F%89_%EC%A4%91%EC%8B%AC

관성모멘트-https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B4%80%EC%84%B1_%EB%AA%A8%EB%A9%98%ED%8A%B8

스칼라 관성모멘크 부분만 보시면 됩니다