함께 풀고 싶은 문제
나도 수학쌤 문장제 문제를 변형해 문제를 내는 곳입니다.
원 안에 내접하는 정삼각형이 있다.
이때 원 위에 임의의 두 점을 잡았을때 내접하는 정삼각형의 길이보다 클 확률은?
다음은 3가지 풀이를 소개해줄텐데 이 중에서 어느것이 맞고 나머지는 왜 틀린지 설명하시오.
(방법 1) 원 위에 임의의 점 한개를 잡자.
그리고 그 점을 포함하고 원 안에 내접하는 정삼각형을 그리자.
그러면 정삼각형을 그렸을땨 새로 생긴 두 점 사이 호에 점이 의치하여야 내접하는 정삼각형의 길이보다 크므로
1×1/3=1/3이다.
(방법 2) 원의 중심에서 정삼각형의 한변에 길이에 수선을 내리게 되었을때 정삼각형 한 변의 길이는 반지름을 수직 이등분한다.
그렇다면 현을 임의의로 지정했을때 수선을 내린다면
현과 수선과의 교점이 중점보다 위쪽에 위치 하여야 한다.
그렇다면 확률은 1/2이다.
(방법 3)
내접 정삼각형에 내접하는 원을 하나 그린다.
이 원의 반지름은 원래 원의 1/2 이 된다.
정삼각형의 한변의 길이보다 긴 현은, 이 작은 원을 반드시 지나게 된다.
그리고 그 현의 중점은 내접원 안에 있다.
내접원 바깥에 있으면 더 작은 원이 된다.
임의의 현의 중점이 내접원 안에 있을 확률을 구하면 된다.
(작원 원의 면적 / 큰 원의 면적)을 구하면
답은 1/4가 된다.
이 중에서 과연 맞는 풀이는 무엇일까?
(이미 이 문제에 대해서 아시는 분이 계실지도 모르겠네요..)
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