폴리매스

x+1/x>=sqrt(x*1/x)=1 이므로 최솟값은 1입니다

참고로 위에서 쓴 부등식은 산술기하평균부등식이고 보통 산기라고 줄여서 쓰며 꽤 유용하니 인터넷에 쳐서 찾아보시는것도 되게 도움될거에요

식이 그럼 1 + 1/x이니까

x가 무한대일때 0으로 간주해 나오는

1이 최소일 것 같습니다~

x+1/x의 최솟값을 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 먼저 이 식은 x가 양수일 때 생각해야 최솟값이 존재하며, x가 음수일 수 있다면 (당연히) 무한히 작아질 수 있습니다.

한 가지 방법은 미분인데, 미분 관련 내용은 많은 곳에 나왔으니 간단하게만 정리하자면, 미분된 식의 극값을 구하는 방법으로 이것을 응용하여 그래프를 그려놓고 증가하는 정도를 파악하여 최솟값에 대한 직관적인 관점을 제시할 수 있습니다.

다른 방법으로는 앞에서 언급되었던 산술기하 평균부등식(AM-GM inequality)가 있습니다. 이변수에서는 a와 b의 산술평균, 즉 (a+b)/2가 언제나 a와 b의 기하평균인 sqrt(ab) 이상이라는 식으로, a와 b가 양수임이 확실할 때 활용할 수 있으며 이변수에서는 제곱 형태로 고치면 매우 간단히 증명할 수 있습니다.

또한, 미분이나 산술기하평균부등식이 어렵다고 느끼는 학생들을 위하여, 페르마 때에 미분 이전에 '미분 비슷한 논의' 가 있었는데, 이 방법이 아무래도 미분보다는 좀 더 직관적이며 이해하기 쉬울 것입니다.

간단히 말하자면, x+1/x가 x=a에서 최솟값을 갖는다고 가정합니다. 그리고 x를 약간 움직였을 때 x+1/x가 작아지는지 확인하는 방법입니다.

에서 a를 약간 움직여서,  로 바꿉니다. 그러면 전체 식은 가 됩니다. 이 값이 원래보다 얼마나 커졌는지 보면, a 부분은 로 바뀌며 만큼 커졌고, 부분은 만큼 작아졌습니다. 이때 입니다. 그런데 잘 생각해 보면, a가 약간 커졌을 때 a+1/a가 작아진다면 a일 때가 최솟값임에 모순이고, a가 약간 커졌을 때 a+1/a가 커진다면 a가 약간 작아졌을 때는 a+1/a가 작아질 것이라는 뜻이므로 a일 때가 최솟값임에 모순입니다.

즉 a가 '충분히 약간' 커진다면, a+1/a은 일정해야 합니다. 이는 위에서 커진 양과 작아진 양, 즉 와 가 같다는 것이고, 에서 (가 0은 아니므로 양변에서 소거할 수 있음) 이 되고, 이 0에 매우 가까우므로 a=1을 얻습니다. 즉 이때의 값인 1+1/1=2가 최솟값이 됩니다.