폴리매스

페루마와 파스탈이 '딸기 뚜-왈-기 게임'을 한다. 딸기 뚜-왈-기 게임은 '아이엠그라운드' 게임과 비슷하게 진행되며(설마 아이엠그라운드를 모르는 분은 없겠지), '딸기'는 1박, '뚜-왈-기'는 2박이다. 예를 들어 페루마와 파스탈은 아래 표와 같이 말해야(또는 박수쳐야) 한다. (빈 칸은 없는 박자, 검은색 글씨는 박수, 빨간 글씨는 말함)

즉, 1,2,3,4번째 차례는 4박까지, 그 이후에는 4차례마다 4박이 추가되고, '딸기' 또는 '뚜-왈-기'를 '말하는' 박자는 번째 차례일 때 박이다. 원래 딸기 뚜-왈-기 게임에서는 위 표처럼 뒤쪽 박자부터 추가해야 하지만, 우리는 규칙을 조금 바꿔보자. 앞에서 말했듯이 4차례마다 4박이 추가되고, '딸기' 또는 '뚜-왈-기'를 말하는 박자는 번째 차례일 때 박이기만 하다면 순서는 상관없다고 하자. 즉, 3번째 차례에 페루마가 (짝) '딸기' '뚜-왈-기' 가 아닌 '딸기' (짝) '뚜-왈-기', '딸기' '딸기' (짝) '딸기'처럼 순서도 마구잡이로 바꾸고, 딸기나 뚜-왈-기를 몇 번 외치는지도 전혀 상관없다. 단, '뚜-왈-기' '딸기' (짝) 처럼 마지막 박자에 박수로 끝나면 안 된다. 즉 마지막 박자에는 딸기든 뚜-왈-기든 말해야 한다. 이렇게 번째 차례일 때 마구잡이로 '딸기' '뚜-왈-기'를 말하거나 박수치는 방법의 수를 가지라 하자.

(1) 의 값은 얼마일까?

(2) 수열 은 단조증가수열일까? 단조증가수열이라면 증명하고, 아니라면 감소하는 구간을 찾아라.

(3) 단조증가수열이 아니라면 감소하는 구간의 개수는 무한할까?

(4) 의 점화식과 일반항을 있다면 찾고, 없다면 증명하라.

(1번과 2번의 정답은 알지만, 3번과 4번은 모릅니다! 풀이까지 같이 남겨주세요!)