폴리매스

폴리가 길이가 유한한 자연수 증가수열 a₁, a₂, a₃, ... , a_m 을 만들었다. 이때 폴리가 만든 증가수열에서 이웃한 두 항의 차는 2 이하이다. 그리고 a₁=1이다. (즉 a_m 은 2m-1 이하이다.) 또한 이 수열 중 값이 연속하는 길이가 2 이상인 항들이 반드시 포함되어 있어야 한다.

폴리는 매스에게 m의 값을 알려준다. 그 뒤 매스는 m이하의 임의의 소수 p를 정하여 n=(p²미만의 p의 배수)에 대해 a_n들의 값을 알 수 있는데, 이를 시행이라 하자.

게임은 다음과 같이 진행된다.

매스는 자신이 가진 정보를 통해 값이 연속하는 길이 2 이상의 항들을 말한다. 자신이 가진 정보로 값이 연속하는 항을 찾을 수 없다면 정보가 충분할때까지 '시행'한다.

매스가 찾아낸 값이 연속하는 항들은 게임에서 제외되고, 더이상 값이 연속하는 항이 남아있지 않을경우에 게임이 종료된다.

이때, 다음의 문제를 풀어보자.

(단, 모든 문제에서 매스는 충분히 똑똑하다.)

1. m=10 이다. 매스가 시행을 할 때 마다 p를 2, 3, 5, ... 처럼 소수중 작은것부터 순서대로 정할때, 매스의 시행 횟수가 최대가 되게 하는 수열을 한 가지 정해보자. 그리고 그때의 시행횟수를 구하여라.

2. m=50 일때, 매스의 시행 횟수가 최대가 되게 수열을 정하는 방법을 설명해보자. 단, 매스가 p를 정하는 방법은 1번 문제와 같다.

3. m은 6 이상이다. m이하의 모든 소수 p에 대해 매스가 시행을 한 뒤에도 값이 연속하는 항을 찾을 수 없는경우가 존재하는가? 존재한다면 서로다른 예시를 3개 제시하고 그렇지 않다면 그 이유를 설명해보자.