폴리매스

우선 문제를 적기 전에 일차함수의 기울기의 정의를 아래에 적어 보자.

일차함수의 기울기: (y증가량)/(x증가량)

물론 이 정의에 전혀 문제는 없고 불편한 것도 없다. 그러나 페루마는 딱 한 가지가 약간 걸리적거린다고 느꼈다. 바로 예를 들어 일차함수의 기울기가 1000에서 100억으로 급격히 커지더라도 기울어진 각도는 둘 다 거의 90도로 차이가 없는 것처럼 보이고, 겨우 1에서 2로 증가할 때는 확실히 기울어진 각도가 차이가 난다는 것이다. 그래서 페루마는 '각도 기울기'를 새로 정의했다. 각도 기울기란, 어떤 직선이 x축과 이루는 각도(단, 둔각이 아닌 쪽)를 말하는 것이다. 이 때 직선이 오른쪽 위(또는 왼쪽 아래)로 향하면 각도 기울기는 양수, 왼쪽 위(또는 오른쪽 아래)로 향하면 각도 기울기는 음수이다. 이 때, 단위는 라디안으로 한다. 예를 들어 기울기가 1인 직선은 오른쪽 위를 향하고, x축과 45도의 각도로 만나고(135도는 둔각이므로 제외), 45도를 라디안으로 바꾸면 기울기가 1인 직선의 각도 기울기는 이다.

(1) 어떤 직선이 있다. 이 직선의 기울기를 0부터 일정한 속력으로 서서히 증가시켜 나간다. 이 때, 기울기가 2일 때 각도 기울기의 순간변화율을 구하시오.

(2) (1)번 상황에서 기울기를 x축, 각도 기울기를 y축으로 잡자. 이제 기울기에 대한 각도 기울기의 함수를 이 좌표평면에 그리자. 이 함수를 미분하고 (1)번 문제와 어떤 연관이 있는지 구하시오. 그리고 (1)번 문제의 정답이 의미하는 것이 무엇인지 말하시오.