폴리매스

지하철 자리는 아래와 같이 되어 있다. (지하철 진행 방향은 오른쪽)

A좌석은 일반석, B좌석은 노약자석이다. 일반석과 노약자석은 또다시 아래와 같이 되어 있다.

페루마는 평소 화랑대역에서 지하철을 탔지만 오늘은 무슨 일인지 봉화산역에서 지하철을 탄다. 봉화산역은 대부분의 열차의 시종착역이기 때문에 봉화산역에서 출발한 열차는 사람이 단 한 명도 없다. 더군다나 봉화산역이 위치한 6호선은 애초에 사람이 거의 없는 노선이고, 코로나 19 사태로 안 그래도 없던 사람 수가 확 줄었다. 페루마가 탄 열차는 봉화산역에서 출발하는 열차였고, 당연히 사람이 단 한 명도 없다. 페루마는 앞에서부터 6번째 칸에 탔다.

(1) 6번째 칸에 탄 사람들은 페루마를 포함해 10명이었고, 전부 2~30대의 비장애인이었다(즉, 노약자는 절대 아니다). 페루마는 검은색으로 동그라미 친 좌석에 앉았다(단, 검은색 동그라미 지점의 정확히 몇 번째 좌석에 앉았는지는 모른다).

이제 다른 좌석은 싹 다 무시하고, 검은색 동그라미 지점만 보자. 이 지점에 사람들이 앉는 경우의 수는?

(2) 지하철을 탈 때 사람들이 보통 막 앉지는 않는다. 물론 소수의 예외는 있겠지만, 대부분은 가능한 한 이웃해서 앉지 않고, 어쩔 수 없을 때에만 이웃해 앉는다(요즘 시국엔 더더욱). 마천가지로 검은색 동그라미 지점만 보자. 이웃한 사람은 한 명도 없을 때, 이 지점에 사람들이 앉는 경우의 수는? (나머지 지점도 무시할 뿐이지 있긴 있다)

(3) (2)번 문제의 조건을 지키며, 이번에는 전체를 보자. 그리고 페루마도 꼭 검은색 동그라미 지점에 앉을 필요 없다. 몇 가지 방법이 있는가? 노약자도 아닌데 노약자석에 앉는 무개념 사람은 없다고 가정한다.

(4) 다음 역인 화랑대역에서는 노약자만 5명 탔다(물론 6번째 칸만 따진 거). 노약자가 일반석에 타면 안 되진 않지만, 노약자석이 비어 있을 경우 무조건 그 자리에 탄다고 하자. 일반석에 앉는 경우는 오직 노약자석이 꽉 찼을 경우뿐이다. 물론 되도록이면 이웃해 앉지 않는다. 노약자석, 일반자석 모두 포함해 사람들이 앉는 방법은 몇 가지일까?

(풀이 필수, 수가 너무 크면 식만 적어도 무방함)