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[창의 퍼즐] [제 1회 폴리매스 수학 올림피아드] 1교시 문제
수돌이 2020.08.09 04:32 조회 849

1교시 문제입니다. 자신의 풀이를 다른 친구들과 공유해봐요!

풀이를 다른 사람들이 볼 수 있어야 하니 비밀댓글을 사용하지 말고, 공개 댓글로 작성해주세요!

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    베네딕트0724 Lv.6 2020.08.09 04:34

    3번 푸신 분 있나요? 풀이 공유 부탁드립니다

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    파이파이 Lv.9 2020.08.09 04:34 비밀댓글
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      베네딕트0724 Lv.6 2020.08.09 04:34

      공개댓글로 작성해주세요

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      파이파이 Lv.9 2020.08.09 04:39

      그게 제가 확인요청만 눌렀는데 자동으로 비댓이 되요.

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    파이파이 Lv.9 2020.08.09 04:39 비밀댓글
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      파이파이 Lv.9 2020.08.09 04:39

      저절로 비댓이 되네요.

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    파이파이 Lv.9 2020.08.09 05:07

    제가 쓴 풀이를 공개합니다....

    1번 풀이
    C는 다섯 자리수이므로 가장 작은 경우 10000이다.
    따라서 A*B+199=10000이 가장 작은 경우이다.
    이때 A*B는 9801이다.
    A와 B가 두자리 수 이므로 가장 큰 경우 99*99이다.
    이 값이 9801이다.
    따라서 방정식 A*B+199=C 의 모든 해는  A=99, B=99, C=10000 이다.

    답:  A=99, B=99, C=10000

    2번 풀이


    한변의 길이가 1인 정사각형을 10번 대각선으로 반 접어 1/1024의 크기로 만든다.
    그러면 1/1024크기의 직각삼각형이 만들어진다.
    여기서 반을 살짝 빗나가게 접어 1/2020을 만든다.

    따라서 11번 접어야 1/2020크기의 다각형을 만들 수 있다.
    답: 11번
     

     

     

     

    흐익...ㅠㅠ 다른 분에게 도움이 되셧다면 좋겟습니다.

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      infinitepi Lv.9 2020.08.09 05:55

      저랑 같아요!!!!!

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      황금 열쇠 Lv.7 2020.08.09 06:12

      저랑 같게 푸셨네요

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    •  
      mathwizard Lv.7 2020.08.09 07:15

      A PHP Error was encountered

      Severity: Warning

      Message: mkdir(): Permission denied

      Filename: libraries/Common.php

      Line Number: 202

      Backtrace:

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
      Line: 202
      Function: mkdir

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
      Line: 236
      Function: getLatexImg

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view_comment_list.php
      Line: 200
      Function: parseLatexImg

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view.php
      Line: 343
      Function: view

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
      Line: 558
      Function: view

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/index.php
      Line: 315
      Function: require_once

      A PHP Error was encountered

      Severity: Warning

      Message: file_put_contents(/DATA/upload/polymath/latex/a0056b5dd2b8dfc62d66be235ee83801.gif): failed to open stream: No such file or directory

      Filename: libraries/Common.php

      Line Number: 213

      Backtrace:

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
      Line: 213
      Function: file_put_contents

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
      Line: 236
      Function: getLatexImg

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view_comment_list.php
      Line: 200
      Function: parseLatexImg

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view.php
      Line: 343
      Function: view

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
      Line: 558
      Function: view

      File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/index.php
      Line: 315
      Function: require_once

      저는 9801까지만 구하고 그 다음부터는 어떻게 해야 될지 잘 모르겠었는데, \pi \pi님은 그렇게 푸셨군요!

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    구머 Lv.6 2020.08.09 05:59

    3번은 풀이가 꽤 간단하게 나오는 것 같습니다. 우선 다음 명제를 보여 봅시다.

    "a1<n이라면, 임의의 자연수 k에 대해, ka_k < n이다."

    이것의 증명은 귀납적으로 쉽게 할 수 있습니다. k=t일 때 명제가 성립한다고 가정합시다. 그러면 n=pa_t + a_(t+1) 꼴이 나오겠죠. 그런데 명제에 의해 p>=t가 되고, a_t>=a_(t+1)이므로 n>(t+1)a_t+1이 되어 증명이 끝납니다.

    이제 저 명제를 수열의 [루트 n]+1번째 항에 적용해 봅시다. 그러면

    a_[루트 n]+1 < 루트 n

    이라는 엄청난 관계식을 얻을 수 있습니다. (짜자잔~) 따라서 양수인 항의 개수가 2[루트 n]+2 이하라는 결론이 나오고, 증명이 끝이 납니다!

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    Lv.7 2020.08.09 06:01

    1번 문제.

     

    A= 10a+b라 하고 B= 10a`+b`라 하자(a, a`, b, b`은 모두 1자리 자연수이다)

    AB=100aa`+10(ab`+a`b)+bb`이다.

    10(ab`+a`b)+bb`의 최댓값은 a=b=a`=b`=9일 때 1701이고

    여기에 문제의 199까지 더하면 1900이다.

    10(ab`+a`b)+bb`+199=N이라 하면

    N+100aa`5자리이므로 1900+100aa`5자리이다.

    100aa`+1900>=10000

    aa`+19=100

    aa`>=81인데, 이는 9*9로만 나타내어진다.

    만약 a, a`, b, b`중 한 변수의 값이 내려가면 N의 값이 더 낮아지므로

    aa`>81을 만족해야 하는데, 두 한 자리 자연수의 곱의 최댓값은 81이므로

    그러한 A, B는 존재하지 않는다.

    따라서 A=99, B=99이며 이때 C=10000이다.

    이 이외의 (A, B, C)는 존재하지 않는다.

     

    2번 문제.

    평면도형 XX 위의 직선 m을 정의하자.

    m에 관해 X를 종이접기 시행한 도형을 X-1이라 하겠다.

    m에 대해 X를 포개어 올렸을 때, 포개어 올린 부분과 기존의 X가 겹치는 부분의 넓이를

    S-1, X-1에서 S-1을 제외한 부분의 넓이를 S-2라 하자.

    S-1 + S-2 = X-1이 된다.

     

    X의 넓이를 S-x, X-1의 넓이를 S-y라 하자.

    S-yS-x에서 S-1이 겹쳐져 넓이가 줄어들었으므로, 빠진 S-1만큼의 넓이를 다시 더하면,

    S-yS-1을 더하면 S-x가 된다.

    그런데 S-x는 정해진 도형 X의 넓이이므로 상수이다.

    그리고 최소의 횟수로 종이접기 시행을 반복했을 때 넓이가 가장 작아지기 위해서는

    종이접기 시행을 한 이후 넓이, S-y가 최소여야 하므로

    S-1이 최댓값을 가져야한다.

     

    문제에서 정사각형을 접는데, 정사각형의 대변의 중점을 잇는 직선으로 접으면

    포개어 올린 부분과 기존 도형의 나머지가 완전히 겹친다. S-1이 최대가 되며,

    이때의 넓이는 기존의 2분의 1이 된다(직사각형도 원리가 같다).

    따라서 정사각형에 종이접기 시행을 한 후 정사각형 넓이의 최솟값은 기존의 2분의 1이므로, 넓이가 1/2020보다 작아지기 위해서는 이를 11번 반복하였을 때 넓이가 1/2048이 되는 때이다.

    즉 답은 11.

     

    3번 문제.

     

    #제 한글 문서에는 아래에 부수를 다는 기능이 없습니다. a1{ai}의 첫항과 같고,

    #기타 an등도 그렇게 생각해 주세요.

    #또한, []는 문제의 올림 기호입니다. 가우스 기호와 같은 것은 아나, 대체할 기호가 없어

    #대괄호로 대신합니다.

     

    I - a1>n이면

    a2=n%a1=n

    a3=n%n=0

    양의 정수는 a1, a2 2. 2[루트n]>=2이므로 n에 값에 관계없이 성립한다.

     

    II a1=n이면

    a2=n%n=0

    양의 정수는 a1 1. 2[루트n]>1이므로 n에 값에 관계없이 성립한다.

     

    III a1 = 0이면

    a2=a3=...=0

    양의 정수는 없다. 2[루트n]>=2이므로 n에 값에 관계없이 성립한다.

     

    IV a1 = 1이면

    a2=a3=...=0

    양의 정수는 1개다. 2[루트n]>=2이므로 n에 값에 관계없이 성립한다.

     

    V 0.5n<a1<n이면

    a2=n-a10. , 0<a2<0.5n이다.

    a21이라면 IV에 의해 양의 정수가 2개가 되어 성립하고, 그렇지 않으면 VI에 의해 성립한다. a1 대신 a2를 대입하면 된다.

     

    VI 1<a1<0.5n이면

    나머지의 성질에 의해 0<=a2<a1이므로

    ai>0i의 최댓값은 a1이다. 즉 이때 최대의 개수는 가우스(0.5n-1)이다.

    V에 의해 이 수는 최대 0.5n까지 늘어날 수 있다.

    #모르겠습니다. 최대의 개수가 0.5n-1보다 더 작다는 것은 직관적으로 알겠으나 그를 증명할 방법을 모릅니다.

     

    VII n이 짝수일 때 a1=0.5n이면

    나누어떨어져서 a2=0, 양의정수 ai=1. 항상 성립한다.

     

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