폴리매스

3번 푸신 분 있나요? 풀이 공유 부탁드립니다

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제가 쓴 풀이를 공개합니다....

1번 풀이
C는 다섯 자리수이므로 가장 작은 경우 10000이다.
따라서 A*B+199=10000이 가장 작은 경우이다.
이때 A*B는 9801이다.
A와 B가 두자리 수 이므로 가장 큰 경우 99*99이다.
이 값이 9801이다.
따라서 방정식 A*B+199=C 의 모든 해는  A=99, B=99, C=10000 이다.

답:  A=99, B=99, C=10000

2번 풀이

한변의 길이가 1인 정사각형을 10번 대각선으로 반 접어 1/1024의 크기로 만든다.
그러면 1/1024크기의 직각삼각형이 만들어진다.
여기서 반을 살짝 빗나가게 접어 1/2020을 만든다.

따라서 11번 접어야 1/2020크기의 다각형을 만들 수 있다.
답: 11번
 

 

 

 

흐익...ㅠㅠ 다른 분에게 도움이 되셧다면 좋겟습니다.

3번은 풀이가 꽤 간단하게 나오는 것 같습니다. 우선 다음 명제를 보여 봅시다.

"a1<n이라면, 임의의 자연수 k에 대해, ka_k < n이다."

이것의 증명은 귀납적으로 쉽게 할 수 있습니다. k=t일 때 명제가 성립한다고 가정합시다. 그러면 n=pa_t + a_(t+1) 꼴이 나오겠죠. 그런데 명제에 의해 p>=t가 되고, a_t>=a_(t+1)이므로 n>(t+1)a_t+1이 되어 증명이 끝납니다.

이제 저 명제를 수열의 [루트 n]+1번째 항에 적용해 봅시다. 그러면

a_[루트 n]+1 < 루트 n

이라는 엄청난 관계식을 얻을 수 있습니다. (짜자잔~) 따라서 양수인 항의 개수가 2[루트 n]+2 이하라는 결론이 나오고, 증명이 끝이 납니다!

1번 문제.

 

A= 10a+b라 하고 B= 10a`+b`라 하자(a, a`, b, b`은 모두 1자리 자연수이다)

AB=100aa`+10(ab`+a`b)+bb`이다.

10(ab`+a`b)+bb`의 최댓값은 a=b=a`=b`=9일 때 1701이고

여기에 문제의 199까지 더하면 1900이다.

이 10(ab`+a`b)+bb`+199=N이라 하면

N+100aa`가 5자리이므로 1900+100aa`이 5자리이다.

100aa`+1900>=10000

aa`+19=100

aa`>=81인데, 이는 9*9로만 나타내어진다.

만약 a, a`, b, b`중 한 변수의 값이 내려가면 N의 값이 더 낮아지므로

aa`>81을 만족해야 하는데, 두 한 자리 자연수의 곱의 최댓값은 81이므로

그러한 A, B는 존재하지 않는다.

따라서 A=99, B=99이며 이때 C=10000이다.

이 이외의 (A, B, C)는 존재하지 않는다.

 

2번 문제.

평면도형 X와 X 위의 직선 m을 정의하자.

m에 관해 X를 종이접기 시행한 도형을 X-1이라 하겠다.

m에 대해 X를 포개어 올렸을 때, 포개어 올린 부분과 기존의 X가 겹치는 부분의 넓이를

S-1, X-1에서 S-1을 제외한 부분의 넓이를 S-2라 하자.

S-1 + S-2 = X-1이 된다.

 

X의 넓이를 S-x, X-1의 넓이를 S-y라 하자.

S-y는 S-x에서 S-1이 겹쳐져 넓이가 줄어들었으므로, 빠진 S-1만큼의 넓이를 다시 더하면,

즉 S-y에 S-1을 더하면 S-x가 된다.

그런데 S-x는 정해진 도형 X의 넓이이므로 상수이다.

그리고 최소의 횟수로 종이접기 시행을 반복했을 때 넓이가 가장 작아지기 위해서는

종이접기 시행을 한 이후 넓이, 즉 S-y가 최소여야 하므로

S-1이 최댓값을 가져야한다.

 

문제에서 정사각형을 접는데, 정사각형의 대변의 중점을 잇는 직선으로 접으면

포개어 올린 부분과 기존 도형의 나머지가 완전히 겹친다. 즉 S-1이 최대가 되며,

이때의 넓이는 기존의 2분의 1이 된다(직사각형도 원리가 같다).

따라서 정사각형에 종이접기 시행을 한 후 정사각형 넓이의 최솟값은 기존의 2분의 1이므로, 넓이가 1/2020보다 작아지기 위해서는 이를 11번 반복하였을 때 넓이가 1/2048이 되는 때이다.

즉 답은 11.

 

3번 문제.

 

#제 한글 문서에는 아래에 부수를 다는 기능이 없습니다. a1이 {ai}의 첫항과 같고,

#기타 an등도 그렇게 생각해 주세요.

#또한, []는 문제의 올림 기호입니다. 가우스 기호와 같은 것은 아나, 대체할 기호가 없어

#대괄호로 대신합니다.

 

I - a1>n이면

a2=n%a1=n

a3=n%n=0

양의 정수는 a1, a2 2개. 2[루트n]>=2이므로 n에 값에 관계없이 성립한다.

 

II – a1=n이면

a2=n%n=0

양의 정수는 a1 1개. 2[루트n]>1이므로 n에 값에 관계없이 성립한다.

 

III – a1 = 0이면

a2=a3=...=0

양의 정수는 없다. 2[루트n]>=2이므로 n에 값에 관계없이 성립한다.

 

IV – a1 = 1이면

a2=a3=...=0

양의 정수는 1개다. 2[루트n]>=2이므로 n에 값에 관계없이 성립한다.

 

V – 0.5n<a1<n이면

a2=n-a1이0다. 즉, 0<a2<0.5n이다.

a2가 1이라면 IV에 의해 양의 정수가 2개가 되어 성립하고, 그렇지 않으면 VI에 의해 성립한다. a1 대신 a2를 대입하면 된다.

 

VI – 1<a1<0.5n이면

나머지의 성질에 의해 0<=a2<a1이므로

ai>0인 i의 최댓값은 a1이다. 즉 이때 최대의 개수는 가우스(0.5n-1)이다.

또 V에 의해 이 수는 최대 0.5n까지 늘어날 수 있다.

#모르겠습니다. 최대의 개수가 0.5n-1보다 더 작다는 것은 직관적으로 알겠으나 그를 증명할 방법을 모릅니다.

 

VII – n이 짝수일 때 a1=0.5n이면

나누어떨어져서 a2=0, 양의정수 ai=1. 항상 성립한다.