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[잡담] 구머님의 말씀대로 틀렸습니다 ㅋㅋ

유한의끝도못본남자 2020.07.24 08:08 조회 619

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일단풀이

4번풀이

최대공약수의 성질의 따라

gcd(n, n+1) = gcd(n, n+1-n) = gcd(n, 1) = 1이다

또,

gcd(n, mn+1) = gcd(n, mn+1-n) = gcd(n, mn+1-n-n) = ... = gcd(n, 1) = 1

이걸또 바꾸면 서로 서로소인정수의 꼴은

gcd(n, mn+1)임을 알수있다

따라서 a,b의꼴은

gcd(a, ma+1)또는 gcd(mb+1, b)꼴임임을 알수있다

이것을 무한 개념으로 확장시켜보자

m을 무한으로 보내면...

집합의 밀도의 정의의 따라

$\rho (S)=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{\left | S_t \right |}{t^n}$ 에서 m = t임으로 둬도 무방하다

따라서 문자순서쌍을 나열하면

a, a+1

a, 2a+1

a, 3a+1

a, ta+1

즉, 이것의 순서쌍은 t개이고

a는 미지수이므로a가 각각 다른수일때 경우를 고려해야되므로 곱의 법칙(데카르트곱)의의해 a를 또 무한으로 두면 t로 봐도되므로

t^2이다

그리고

다른조건인 b에대해

b+1, b

2b+1, b

tb+1, b

여기서도

t^2개

이제 두경우를 합의법칙(독립변수합)으로 합하면 2t^2

따라서 이값을 집합의 밀도정의에 대입하면

$\rho (S) = 2$

5번문제풀이

이번엔 차원을 이용해볼겁니다

N^n을 자른 (R^n 공간으로 볼수있다)

평면을 이용하여

4번문제에서 유도할겁니다

평면을 나눌경우의수는

어떤 2가지의 a_i들을 묶어야됩니다

곱의법칙의 의해 a_i들의 순서쌍은 모두 n(n-1)개네요

일단 4번문제에서 서로소일수는 t^2이라고했습니다

이제 이것들이 서로소인 gcd묶음 ex) gcd(a_i, a_k) = 1인 1개이상의 것들만 있으면 됩니다

이항정리 $(x+y)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} y^rx^{n-r}\binom{n}{r}$ 를 변형해 $x = 1, y = 1$ 을 대입하면 $(2)^{n} = \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}$

따라서 조합의 정의에 의해 어느 수의 n이하 0이상의 묶음을 택하는 경우의수와같다

하지만 우리는 1개이상만이 필요하므로

$2^n -1$ 로 0을 제외한다

따라서 우리가 구하는식은 $2(2^n -1)t^2$ 이고

이것을 집합의 밀도에 대입하면 $\rho (S) = 2^{n+1}-2$ 이다

이를 미분해보자

n을 매개변수로 하자

지수함수미분법과 합성함수미분법의의해 2^n+1*ln 2이다

1/n을 리만적분해보자

ln n이된다

그러면 제타함수 꼴이된다

제타함수도 무한 합으로 적분과같은 ln n의 근사값을 가진다

따라서 ln 2에

제타함수를 적분한것을 변형한것을 대입하고

다시 n을변수로 리만적분하면

$\rho (S) = 2^{n+1}-2$ 이 다시나온다

근데(밤 10시쯤에해서 정신이 이상해서그런걸수도(?) 주말중에 한번더 도전해봅니다)

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