폴리매스

중성이는 큰 직사각형 종이를 가지고 있다. 그래서 중성이는 종이를 접으며 작도하려고 한다.

중성이가 작도할 수 있는 도형은 다음과 같다.

1) 종이를 접은 뒤에 폈을 때 남는 접은 선을 이용할 수 있다.

2) 서로 다른 두 점이 있으면 그 두 점을 잇는 직선을 접는 선으로 하여 접을 수 있다.

3) 서로 다른 두 점, 또는 평행선이 완전히 포개어지게 접을 수 있다.

4) 두 직선이 포개어지게 접어서 각이등분선을 작도할 수 있다.(단, 삼등분, 오등분 등은 한 번에 접을 수 없음)

5) 선분이 있으면 포개어지게 접어서 접은 선이 수직이등분선이 되도록 할 수 있다.

6) 종이를 접어서 여러 겹이 겹쳐져 있는 상태이더라도 또 접을 수 있다. (종이의 두께는 무시)

[문제 1] 가장 적은 횟수로 접어 60도를 작도하는 방법은 무엇일까? (직사각형의 변을 이용할 수 있다)

[문제 2] 중성이는 직사각형의 한 변을 7등분하고 싶다. 가능할까? 가능하다면 방법을 찾고, 불가능하다면 불가능함을 보여라.

[문제 3, 메인 문제!] 중성이는 접어서 만들 수 있는 도형으로 이루어진 집합을 P로, 눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 도형으로 이루어진 집합을 Q로 정의했다. 단, P를 정의할 때 중심과 반지름만 있으면 원이 작도된다고 가정했다. 이 때, 전체집합을 U로, P를 빨강, Q를 파랑으로 표시하였다면 가장 알맞은 벤 다이어그램은 무엇일까?(단, 벤 다이어그램에 의해 생긴 영역은 원소가 반드시 있다. 즉, 공집합이 아니다.)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)(빨강과 파랑이 겹쳐진 그림입니다.)

문제 1, 2, 3을 모두 푸셔야 해결이고, 1, 2에는 풀이가, 3에는 반드시 증명이 있어야 합니다.