폴리매스

(1) 아인수타인이 함풀문에 낼 문제를 만들고 있다. 아인수타인은 정수, 대수, 기하, 조합, 과학 5종류의 문제를 만든다(사실 말머리 제도 도입된 이후 정수는 한 문제도 안 내긴 했지만;;). 아인수타인은 15문제를 내려 하는데, 1문제는 정수, 2문제는 과학, 3문제는 기하, 4문제는 조합, 5문제는 대수 문제로 내려 한다. 문제를 내는 방법은 얼마일까?

(2) 같은 종류의 문제를 구분하지 않는다면, 몇 가지 방법이 있을까?

(3) 이번에도 역시 위 5가지 종류의 문제를 내는데, 총합 몇 문제를 내는지, 각각을 몇 문제 내는지는 신경 쓰지 않는다고 한다. 한 문제를 낼 때, 정수 문제는 1시간, 대수 문제는 45분, 기하 문제는 1시간 15분, 조합 문제는 30분, 과학 문제는 15분 걸린다고 한다. 아인수타인은 5시간 동안 문제를 만드려고 한다. 문제를 내는 순서는 고려하지 않을 때, 몇 가지 방법이 있을까?

(4) (3)번 문제의 생성함수를 구하여라. 생성함수란, 자연수 에 대하여 경우의 수를 이라고 할 때, 를 말한다.

(5) 만약 (3)번 문제에서 생성함수를 이용하지 않고 풀었다면, 생성함수를 이용한 풀이도 구해 보자.

(6) 각 문제의 소요시간은 (3)번과 같다. 그러나 이번에는 3시간 동안 문제를 만들고, 한 문제를 만들면 15분의 휴식 시간이 있다. 그리고 이번에는 조합과 기하, 과학 3가지의 문제만 만든다. 이번에는 문제를 내는 순서를 고려한다. 몇 가지 방법이 있을까?

(모든 문제는 풀이 필수이고 계산기 얼마든지 사용해도 좋습니다.)