삼차방정식 에서 a, b, c가 모두 정수일 때 세 근이 모두 정수인지를 밝히는 문제이네요.

a와 b의 절댓값이 같고 부호만 다르게 하고 c가 정수일때 위 조건을 모두 만족합니다

a,b,c가 유리수라는 조건을 이용해서 같이 풀어봐요.

3차방정식으로 해석하면 너무 쉬워서...

Rupp1님이 제안한 대로 바꾼 명제입니다.

"유리수 중 적어도 하나는 정수가 아니면, 가 모두 정수일 수는 없다."

음... 이건 아니네...

음.. 이렇게도 증명이 가능한가요?

a+b+c 가 정수이고 유리수는 분수의 형태로 나타낼수있기 때문에

n이라는 공통분모로 a₁/n, b₁/n, c₁/n 으로 바꾸어 볼 수 있습니다.

그런데 ab, bc, ac 가 정수 여야 하므로 두수를 곱했을 때 분자에서 최소 n의제곱이 나와야합니다.

그런데 모두 n을 가지고 있으면 약분됨으로, a₂n²/n, b₂n²/n, c₁/n 으로 바꾸어 쓸수 있습니다.

결국은 n값이 a와 b에서 나누어지므로 a와 b는 정수이고,

a+b+c 는 정수 이므로 c도 정수입니다.

즉, a b c 모두 정수입니다.

제 생각에는 a+b+c에 대해서는 만약 a,b,c가 모두 혹은 하나라도 정수가 아니라면 무조건 정수가 아닌 즉 허근 혹은 무리수가 들어감으로 유리수라는 조건에 위배가 되서 일단a+b+c가 정수이면 a,b,c도 정수가 될것 같습니다.

만일 a가1이고 b가 2고 c가 3이면 다 정수인데요

a, b, c가 하나라도 정수가 아닌 유리수인경우 a+b+c, ab+bc+ca, abc 모두가 정수이지 못하다는 것을 증명하여,

a, b, c가 모두 정수임을 밝히도록 하겠습니다.

1.하나만 정수가 아닌 유리수인 경우.

a=m/n(m과n은 서로소)라 하고 b, c 를 정수라고 가정합니다.

이때 a+b+c는 정수가 되지 못합니다.

2. 두 수가 정수가 아닌 유리수인 경우

a=m/n, b=(kn-m)/n(m과n은 서로소, kn-m은 n의배수가 아님) 이라하고 c를 정수라 가정합니다(a+b+c가 정수가 되기 위해서는 a+b가 정수가 되어야하므로 다음과 같이 가정하였습니다.).

abc에서, (kn-m)mc/n²이라서 c는 n²의 배수여야 정수가 됩니다.

ab+bc+ca 에서, ca와 bc는 정수이기때문에 반드시 ab가 정수여야 합니다.

그러나 (kn-m)m/n² 이 정수가 되지못하므로 모순입니다.

3. 세수가 모두 정수가 아닌 유리수인 경우

a= m/n, b= (kn-i)/n, c= (m+i)/n 이라 가정합시다(a+b+c가 정수가 되야 하기때문에).

그러나 이와같은 경우는 m, kn-i, m+i 모두

n과 서로소이기때문에,

abc는 정수가 되지못합니다.

따라서 a+b+c, ab+bc+ca, abc 가 모두 정수이면 a, b, c는 모두 정수입니다(a,b,c는 유리수).

혹시 제가 아는 공식 중에 (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(c+b)(c+a)라는 걸로도 풀수있지 않을까요?