국가수리과학연구소 5번
혼자 하는 카드게임의 승률은?
문제 출제자 : 이석형 수리과학연구소 연구원
52장의 트럼프 카드에는 4가지 문양에 숫자가 1부터 13까지 있습니다. A, J, Q, K를 각각 1, 11, 12, 13으로 간주하면 됩니다.
그리고 이 트럼프 카드로 혼자 하는 놀이인 솔리테르(solitaire) 중 다음과 같은 것을 생각합니다.
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트럼프 카드 52장을 임의로 섞고, 한 장 한 장 카드를 넘기면서 "A(1), 2, 3, 4, … , 10, J(11), Q(12), K(13), A(1), …"이런 식으로 불러나갑니다. 카드를 넘길 때 자신이 부르는 숫자가 그 카드에 있으면(예를 들어, 첫 번째 카드가 A이거나 3번째 혹은 3+13=16번째 카드가 3이거나) 솔리테르에 실패하고, 카드 52장을 모두 넘기는 동안 그런 경우가 없으면 솔리테르에 성공합니다.
(1) 위를 일반화해서 k가지 문양에 1부터 n까지의 숫자가 있는 경우를 생각합니다. 트럼프 카드는 k=4, n=13인 경우가 되겠지요. k가 고정돼 있고 n이 무한대로 갈 때, 솔리테르에 성공할 확률은 얼마로 수렴할까요? k=1, 2, 3, 4에 대해서 먼저 성공 확률을 구해 보고, n인 경우에 대해 구해 봅시다.
(2) 트럼프 카드의 경우 솔리테르에 성공할 확률을 소수점 6째 자리까지 계산해 보세요.
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수학책갈피2017.05.02. 09:23
그러니까....
트럼프 카드의 경우는, 카드가 나온 순서 ≠ 그 카드의 숫자(mod 13)이고
(1)문제의 경우에는, 카드가 나온 순서는 1~nk, 카드의 숫자는 1~k가 되겠군요.. -
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tommy2017.05.02. 22:03
k=1이면 그냥 완전순열의 개수 구하기 문제 아닌가요? n!으로 나눠주면 확률은 바로 나오니까요
근데 폴리매쓰 문제 풀 때 다른 책 참고해도 괜찮은가요? ;; 책에서 완전순열 공식을 봤던 것 같은데.. -
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tommy2017.05.02. 22:06
근데 (1)의 끝부분에서 'n인 경우에 대해 구해 봅시다'는 무슨 뜻이죠? k=n일 때 n을 무한대로 보내면 수렴값이 어떻게 되냐는 건가요?
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elusive11022017.05.02. 22:52
K의 1,2,3,4확률을 구하고, N이 1~13일때의 확률도 구하라는 뜻 같은데요ㅎㅎ
(간만에 이해할수 있는 문제나온 초딩)좋아요0 -
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elusive11022017.05.02. 23:36
계산해 봤는데...
그럼 K가 1일때 확률은 약 93.013562퍼센트
아니에요? -
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Lucky star2017.05.18. 23:00
2가 3개 있을 확률은 4 / 48 == 1 / 12.
2가 4개 있을 확률은 44 / 48 == 11 / 12. -
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수학자2017.05.23. 15:23
http://blog.naver.com/cozyyg/221012336908
(1) 풀었습니다. 답의 형태로 보아 더 좋은 풀이가 있을지는 잘 모르겠습니다.
(2)는 Step 1의 내용을 적용해주면 구할 수 있습니다. 울프럼 알파로 구해보면 답은 0.016233입니다.
