ㅇㅈ..저 정사각형 조건 땜에 계속 터짐

문제에서 직사각형 n개로 나누고 싶다고 했으므로, n이 1이라면 나누는 것이라고 정의하기 애매하지 않을까요?

직사각형 1개로 나누는 것도 가능한 것 아닌가요?

1개로도 나눌수는 있습니다.

나눌수야 있기는 한데... 네이버 국어사전에 '나누다'라는 뜻을 찾아보면, '나누다:하나를 둘 이상으로 가르다.'라고 나와있어서 하나를 하나로 가르는 것은 조금 애매한 것 같습니다.

'갈라떨어지게 하거나 분류하다'

가 다음 사전에나온 정의 인데

1개의 덩어리로 갈라떨어지게 하는것도 가능하지 않을까요?

그런데 문제가 너무 쉬우면 추가 문제가 있던거 같은데 맞나요?

네! 아주 예전에 금칙어 집합 문제가 추가문제로 나온 적이 있었습니다!

저러면 맨 마지막에 직사각형을 반으로 나눠야 하는 참사(?)가 생깁니다..

그러네요. 뭔가 모양을 변형시키면 될것 같아요.

맞는거 같네요!!

n의 값 알면 그러고 싶지 않으실 텐데....

요거 수학동아 애르되쉬 만화에 있는데. 정시각형을 정사각형으로 나눈것이므로 이 문제의 예에 포함됩니다. n=21입니다.

정사각형을 넓이가 같지만 합동은 아닌 직사각형들로 나누는 것입니다!!

아....

직사각형에는 정사각형도 포함이 되니까 맞지 않나요?

정사각형도 직사각형에 포함되기는 하지만 위 정사각형들의 넓이가 서로 같지 않습니다.

구글에 Squaring the square 이라 검색하면 더 많은 경우를 찾아볼 수 있네요!

추가하자면, 굳이 정사각형이 아니라 직사각형이여도 되요.

그런데 이 문제와 완전수와 무슨 연관성이 있는지?

그러면 변의 길이가 유리수와 무리수가 같이 나오는 경우는 어떻게 접근을 하나요? 유리수와 무리수로 나누어서 해결하려면 시간이 굉장히 걸리게 될거라 생각합니다.

조건을 잘 살펴보길 바랍니다.

약간 수정해야겠네요. (1/k+1)두께의 직사각형을 한번은 위쪽, 한번은 오른쪽 이렇게 번갈아가면서 붙여야 하는군요.

가운데 맞붙어 있는 두 직사각형이 합동이 아니면 불가능한 모양이네요ㅠㅠ

저건 왼쪽꺼를 아래쪽으로 끝까지 내리면 될듯

맨 왼쪽 직사각형을 빼고 가로를 확장시키면 1개 줄어듭니다.

그런데 이게 저런 '틀'을 맞추는 건 꽤 할만한데 틀에서 길이를 맞추는게 보통일이 아니더라구요..ㄷㄷ

일단 각각의 직사각형의 길이를 다 구해서 합동이 있는지 없는지 확인하고, 그린 그림처럼 나올 수 있는지 확인해 봐야할 것 같아요.

어감이 중의적이긴 하지만 출제자분이 정답을 몰라서 올린건 아닐테고, 만약 조건을 만족하는 n이 없다면 그 경우에 대해 증명하라고 문제에 덧붙였겠죠.

그렇더라도 없다는 가능성을 배제하면 문제를 제대로 해결할 수 없다는 건 확실하다 봅니다.

그냥 n이 존재한다면 모두 구하라는 게 아닐까요? 제가 위에 올린 댓글을 보면 n의 값을 하나만 안다면 모두 구하는 건 어렵지 않을 겁니다.

ssamtkwon님 정사각형 자체를 변형할 때 기존에 합동이 아니던 사각형이 합동이 되는 경우가 있습니다. 아무래도 그 방법은 안 될 것 같습니다. 

합동이 아니던 사각형들을 일정한 비율로 축소했는데 어떻게 합동이 아닐 수가 있죠?

합동일 수도, 아닐 수도 있습니다.

바람개비 무늬의 정사각형 타일에서 직교하는 직사각형 2쌍은 합동이지만 비율을 변형하면 각 쌍이 서로 합동이 아닌 것의 역이라 생각하면 됩니다.

그래도 만족하는 k가 존재함에 같이 만족하는 더 큰 값들이 무한함을 보이는데 저 방법이 틀린건 아닙니다.

잘 안보이는데, 직사각형의 길이가 무리수인 경우는 고려하셨나요?

아... 그렇네요.

무리수는 고려하지 않았지만,

유리수의 변으로만 이루어진 직사각형의 분할은 불가능 하다는 부분적인 증명으로 축소되겠네요.

그런데 무리수가 들어가면 좀... 이상하지 않을까요?

단위 정사각형을 놓는다는 가정이 약간 거슬리네요.

단위 정사각형을 설정할 수 있을까요?

아니요, 문제를 잘못 이해하셨습니다. 넓이가 같은 직사각형으로 분할 해야합니다. 나눈 사각형의 넓이가 같지  않습니다.

아닐걸요?

2차원에서의 문제를 3차원으로 확장하는 것이 더 어렵지 않을까요?

오히려 "어떤 정육면체를 부피가 같지만 모양이 서로 다른 직육면체 개로 나누고 싶다. 어떤 에 대해 이게 가능할까?"​

를 풀기 위한 보조정리로 본 문제가 필요하지 않을까요?​​

그냥 추측입니다^^

oo님과 Fermat314님에 의해 증명된 것 같으니 3차원으로 확장시키면 이겠네요. 물론 각 직육면체가 합동이 아니면서 가로, 세로, 높이가 다 다른 직육면체라면 모르겠지만요.

출제자의 코멘트~~~.

인 경우에 잘 풀었다고 말씀하셨어요! 더불어 조금 더 밀어붙이면 다른 경우도 해결할 수 있을 것 같다고 합니다!

전산오류로 2번 째 게시판에 댓글 작성하기 버튼이 먹통이 됐었어요. 바람개비 친구의 제보로 발빠르게 수정했습니다. 고마워요, 바람개비 친구!

오랜만이에요, 수돌이 친구!

아래 초록색으로 표시한 두 사각형 말이죠???!

어? 1/7맞네.. ㅈㅅ합니다

아..... 조금 다른 방법으로 증명한 다음에 들어와 보니 이미 증명이 있네요.

n = 1~6까지도 처리해 주셔야 할 것 같은데 제가 올리는 건 예의가 아닌 것 같아 그냥 지나가겠습니다.

n=1~6일 때를 증명 안 했네요. 사진으로 첨부할게요.

/resources/comment/2018/09/452a6692b541e4ee7595854c4e6373af.jpg

/resources/comment/2018/09/f121c967e3023683964ce16751c28400.jpg

/resources/comment/2018/09/16c9d28eda7c13288b0b5a211ba210ea.jpg

이로써 n=1~6일 때 불가능하다는 게 증명되었습니다. n=6일 때는 경우를 다 나타내진 않았지만 모든 분할이 다 저 논리 안에 있으므로 나머지는 쉽게 알 수 있을 거에요.

오류 있으면 수정해주세요.

백진언 연구원 님이 열심히 검토 중이니 잠시만 기다려주세요!!

아 그리고 설명을 안 한 게 있는데, 증명 과정을 좀 더 명확히 하기 위해 좀 더 설명하겠습니다.

첫 번째 사진에서 보인 것은 최소분할이 가능한 모양(직사각형이 실제로 합동이 되는지에 관계없이, 합동이 자명한 직사각형이 없는 모양을 말합니다. 이 모양을 최소분할모양이라 부르겠습니다.)이 n이 최소 4이상일 때 가능하다는 것을 말한 것입니다. 최소분할모양이 되려면 정사각형의 한 변을 공유하는 직사각형이 있으면 안 된다는 것이죠. 단, 최소분할이더라도 최소분할모양은 아닐 수 있습니다. 이는 뒤에 설명하겠습니다.

n=4일 때 최소분할모양이 아님은 자명하고, n=5일 때는 2번째 사진에서 나온 모양이 최소분할모양입니다. 하지만 이 모양은 테두리의 모든 직사각형이 합동이므로 최소분할이 아님을 증명했습니다. n=5일 때 최소분할 모양은 2번째 사진 모양 말고는 없습니다.

3번째 사진은 n=6일 때 최소분할 모양이 나올 수 있는지에 대해 경우를 나누어 구한 것입니다. 결과적으로 n=6일 때 최소분할모양은 없습니다.

그런데 n=6일 때 설명하지 않은 경우가 있는데, 바로 최소분할모양(지금까지 나온 최소분할모양은 n=5일 때뿐입니다.)에 1×1/5 직사각형을 붙이는 경우입니다. 이 경우 최소분할모양은 아니더라도 최소분할은 가능할 수 있습니다. 하지만 이 모양도 n=5일 때 모양에서 마주보는 직사각형은 항상 합동이므로 합동인 직사각형이 나와 조건을 만족하지 않습니다. 즉, n=6일 때도 최소분할이 되지 않습니다.

정리하자면, 어떤 n에 대해 최소분할이 가능하다면  n일 때 최소분할모양이거나, 최소분할모양에 직사각형을 덧붙인 모양이어야 합니다.(최소분할모양일 때 최소분할이어야 할 것 같지만, 합동이 되는 경우가 있고, 직사각형을 덧붙이면 합동이 아니게 될 수 있기 때문입니다.) 그런데 최소분할모양은 n=5 이상일 때만 가능하고, n=5일 때는 최소분할모양이 존재하고 n=6일 때는 존재하지 않습니다. n=5일 때 최소분할이 안 됨은 증명했고, n=6일 때 최소분할이려면 최소분할모양에 덧붙인 모양이어야 하는데 이것마저도 조건을 만족하지 않기 때문에 n=7 이상부터 최소분할이 가능합니다. 그런데 n=7일 때 최소분할이 가능함을 ㅇㅇ님이 증명하셨고, 제가 제일 처음 쓴 댓글의 논리대로 n=7이상인 모든 n에 대해 조건을 만족하는 분할이 가능합니다.

제 생각으로는 n=8 이상에서 만족하는 모양이 발견되었다면 증명이 훨씬 더 어려웠을 것 같네요.

경우의 수가 많아서 검토하는 데 시간이 조금 걸린다고 해요. 조금만 더 기다려주세요!!

네 :)

오래 기다리게 해서 미안해요, Femat314 친구! 방금 도착한 백진언 연구원 님의 따끈따끈한 코멘트를 전달합니다. 부족한 부분이 있지만, 아주 잘 풀었다고 해요!

①올려준 사진 중 맨 마지막 사진에서 '직사각형을 분할할 때 위의 그림처럼 분할하면 나머지 직사각형도 또 분할해야 한다'는 게 어떤 뜻인지 좀 더 명확하게 설명해 줄 수 있나요? (그림이 두 개의 작은 직사각형(넓이 )을 나타내는 건지, 아니면 한 직사각형의 변의 길이가 1이라는 걸 말하는 건지)

②전체적인 흐름은 맞지만, 부족한 논리가 하나 있어요!

마지막 사진은 n=6일 때 최소분할모양이 가능한지 알아보기 위해 설명한 그림입니다. 그림처럼 나눈다는 것은 한 변의 길이가 1인 선분으로 정사각형을 나누는 것입니다. 경우를 나누어서 보면, 나누었을 때 넓이가 1/n인 직사각형이 있으면 나머지가 최소분할모양이어야 하므로 안 됩니다(이 경우는 n=5일 때의 최소분할모양에 1/6×1 직사각형을 붙인 경우밖에 없습니다.). 다른 경우도 마찬가지로 각 나눈 부분이 최소분할모양을 가지고 있어야 하는데, 그러면 n이 10 이상이어야 하므로 안 됩니다.

따라서 최소분할모양을 만들기 위해서는 한 변의 길이가 1인 선분이 정사각형 내부에 있으면 안 됩니다.

설명이 좀 애매하긴 하네요... 

Fermat314 친구!

'최소분할모양'이 사각형의 개수가 최소인 문제의 조건을 만족하는 배치를 의미하는 건가요?

아니요, 명백히 합동인 두 직사각형이 존재하지 않도록 하는 분할 모양을 최소분할모양이라고 했습니다. 제가 용어를 약간 혼용해서 사용했을 수 있는데, 꼭 최소 개수로 나누는 것이 아니어도 됩니다. 그리고 최소분할모양이더라도 실제로는 합동인 직사각형이 있을 수 있습니다(n=5일 때가 그 예시죠).

Fermat314 친구 정답입니다!

문제를 출제한 백진언 연구원 님께서 "n이 6 이하일 때 불가능하다는 증명의 설명이 조금 부족하지만, 전체적인 흐름과 논리가 맞기에 정답을 줘도 될 것 같다"고 하셨어요. 이로써 20번 문제 해결!