함께 풀고 싶은 문제
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[창의 퍼즐] 뭐...암호가 퀄리티가 떨어진다면...
15진법과 이진법을 섞어서 암호를 만들었다(10을 나타내 알파벳은 e, 11은 i, 12는 t, 13은 f, 14는 q로 나타낸다)
100101111011010001(2)을 이 암호를 통해 나타내면 1+16+64+128+512+1024+2048+4096+16384+131072=155345가 되는데, 이를 15진법으로 치환하면
50625*3+3375+15*6+1*5=31065가 된다. 이렇게 하면 기존의 18자리 수를 5자리까지 줄일 수 있다.
f(x)는 이 과정을 담은 함수이다. 즉, f(100101111011010001)=31065이다.
1) f(x)의 역함수가 존재할 수 있는가? 즉, 정의역이 모든 실수인 x에 관하여 f(x)는 1대1대응 함수인가?
2) 함수의 연속성과 미분가능성을 조사하라.
3) 해당 함수의 도함수를 구할 수 있는가? 더 확장하여, 2진수를 n진수로 변환하는 것에 관한 도함수를 일반화시킬 수 있는가?(단, n은 정수)
4) 더 나아가서, 2진법을 무리수 진법으로 변환해도(변환하는 방법은 같다. 단 1 이하의 나머지가 남을 경우, -1제곱, -2제곱으로 떨어진다. 즉, 14는 파이^2+파이+0.98880..이므로, 1/파이*3이 더해져서 13.96612..가 되고, 일이런식으로 반복한다. 단, 각 자리수는 정수이므로 각 자릿수의 최댓값은 [해당 무리수]이다) 연속이거나 미분가능한가? 그렇다면 도함수를 구하라(저도 안해봄)
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