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[창의 퍼즐] A사이즈의 종이로 완벽한 직사각형을 만들 수 있을까?

cjmoon 2019.08.22 05:27 조회 762

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A1, A2, A3, A4......를 이용해서 완벽한 직사각형을 만들 수 있을까? (답을 수학적으로 설명하라.)

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리프 Lv.7 2019.08.24 05:25

완벽한 직사각형이 뭔가요?

댓글 작성하기 좋아요0 댓글수2
- 뉴＿턴 Lv.8 2019.08.24 19:36
  
  그냥 직사각형 같은데요?
  
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- cjmoon Lv.6 2019.08.25 18:09
  
  A0전지요.
  
  좋아요0
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A0 size의 넓이를 1 $\left( \frac{1}{\sqrt {\sqrt{2}}}\times \sqrt{\sqrt{2}}\right)$ 이라고 하자.

그러면 넓이 합은

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}=$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{2^n} \right )=$ $1-0=1$

따라서 면적은 가능하다.

이제 위 사각형을 채우는 알고리즘이 존재함을 보이자.

1. A0를 A1, A2, A3...으로 채워야 한다. A0를 A1사이즈 두개로 분할한 뒤 그중 한 쪽을 A1으로 덮는다.

2. 그러면 다음으로 A1을 A2, A3, A4....으로 채워야 한다. 이는 1)과 동치인 문제이다. 따라서 1)의 알고리즘을 반복적용한다.

이 알고리즘을 많이 적용할수록 더 많은 공간이 채워진다는 것을 알 수 있다.

이 알고리즘의 무한히 시행한 수의 결과값 1점(특이점)을 제외하고 모든 점이 어떤 사각형에 포함됨을 알 수 있다.

즉, 나머지 모든 점들은 덮쳐쳤으므로 다 채웠다는 정의에 부합한다.

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- cjmoon Lv.6 2019.08.25 18:10
  
  좀 더 쉽게......
  
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- Undefined Lv.1 2019.08.26 06:15
  
  1. 반을 채운다.
  
  2. 반이 남았다.
  
  3. 1~3 단계를 크기를 1/2 배 줄여 반복한다.
  
  (자기반복 멈추지 않는 알고리즘입니다.)
  
  그러면 오른쪽 아래 꼭짓점(특이점) 1점(유한개)을 제외한 나머지 모든 점들은
  
  어떤 한 직사각형의 내부점이거나
  
  어떤 직사각형(들)의 경계점임을 알 수 있다.
  
  즉, 겹치지 않고 다 채웠다는 정의를 충족한다.
  
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- cjmoon Lv.6 2019.08.27 04:51
  
  더 쉽게해서 어린아이도 이해할 정도로 하면 인정하겠습니다.
  
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- 뉴＿턴 Lv.8 2019.08.29 07:41
  
  여기서 더 쉬워질 수가 있어요??
  
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- Undefined Lv.1 2019.08.31 05:37
  
  그러면 cjmoon 님은 페르마의 마지막 정리의 앤드류 와일즈의 증명을 인정하지 않으시겠군요.
  
  수학을 할 때에는 다른 여러 수학자들에 의해 검증된 증명은 받아들일 필요가 있다고 생각합니다.
  
  풀이를 더 쉽게 만들 생각은 없고요.
  
  기본적으로 중3이여야지 닮음과 지수를 배웠을것이고 (물론 그때 미분방정식을 배우는 천재도 있죠)
  
  위의 논증은 지극히 직관적인 것이고 수학적으로 엄밀한 것이 아니기에
  
  그 어떤 '수학자'도 이해하리라고 기대하지 않습니다.
  
  단지 제가 엄밀한 증명을 적기가 귀찮을 뿐.
  
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리퍼 Lv.6 2019.08.28 05:05

A₁=1/2

A2=1/4

A₁+A₂₊A₃...=1/2+1/4+1/8...(1번 식)

2(A₁+A₂₊A₃...)=1+1/2+1/4+1/8...(2번 식)

1번 식-2번 식=A₁+A₂₊A₃...=1

따라서 가능하다

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- cjmoon Lv.6 2019.08.31 18:12
  
  근데 이게 이 문제를 푸는데 어떤 관계가 있죠?
  
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