8월 3일 하루 동안 비밀댓글로 풀이를 달아주세요!

3일이 지나면 다시 공개로 바꾸겠습니다.

1-1풀이

(정수변) 방향에서 바라봤을 때 검은색 도형과 흰색 도형의 넓이가 같도록 배열됨을 알 수 있다.

1-2 풀이

a×b사각형을 잡자 a와 b가 정수가 아닐 때 넓이가 같지 않음을 보이면 된다.

가우스 a와 b를 변으로 하는 멋진 직사각형을 잘라낸 뒤 가우스 b와 (a-가우스 a)를 변으로 하는 직사각형을 잘라내면 각 변의 길이가 1보다 작은 그림의 x와 y를 변으로 가지는 직사각형이 남는다.

둘 중 한 변이라도 0.5이하면 안됨은 자명하므로 넘는 경우를 생각하자

0.5^2 +(x-0.5)(y-0.5) =0.5(x+y-1)을 만족하는 x y가 존재하는가라는 문제가 된다.

둘 중 하나 이상은 0.5이하가 됨을 전개시에 알 수 있다.

2 풀이

0.5^3의 흰색과 검은색의 정육면체를 잡고 채운 뒤 체스판 풀이와 같이 진행하면 된다.

정수변 방향에서 바라봤을때 dl×dh×정수변 으로 보면 검은색 부피와 흰색 부피가 같은 막대가 무한히 많이 붙여져 있으므로 증명완료되었다

아래와 같은 경우 직사각형이 멋지지 않음에도 불구하고 흰 영역과 검은 영역의 넓이가 같습니다. 풀이가 성립하기 위해서는 직사각형의 멋짐과 두 면적의 일치가 필요충분조건이 아니어도 되나요? ㅎㅎ

며칠전 왜우리는 수학을싫어하게 됐을까? 라는 영화에서 연구소에서 윈하는 연구를 마음껏하고 돈받고 맛있는 음식도 먹는다는 것을 알게됗는데 구가수리과학연구소는 어떨지 궁금해요

멋진 직사각형의 조건을 한 변 이상이 2분의 n꼴이나 3의 배수꼴인 경우라고 바꿔서 생각해도 문제는 성립하겠죠?

(멋진 사각형)문제에서 멋진 직육면체 문제 에 관해 질문 드립니다.

큰 직육면체 속 작은 직육면체들을  그리고 모든 직육면체들이 높이만 정수이다고 가정했을 때 모든 직육면체의 꼭짓점에 있는 사람들은 모두 악수를 1번만 하게 되지 않나요?

혹시 악수하는 방법 설명해주실 수 있나요..

이해가 안되네요ㅠ

3-2 악수풀이 적용

혹시 멋진직사각형 풀이방법으로 멋진직사각형 넓이에 대한 경우의 수를 찾는 것도 방법일까요? 

답변 부탁드립니다

1-1

정수는 0.5로 나눌때에 무조건 짝수가 되게 된다

따라서 0.5를 한변으로 하는 직사각형과 이웃한 직사각형을 한 묶음으로 볼때 

한변이 정수일 경우 무조건 검은색 사각형들의 넓이가 하얀색 사각형들의 넓이가 같다

1-2

정수인 변이 존재하지 않는 경우에는

위의 풀이같이 묶음을 만들어도 남는 직사각형이 생긴다

따라서 멋진 직사각형이 아니면 각각 다른 색 사각형의 넓이가 다르다

새로운 풀이 방법 찾기 문제는 선생님이 소개해주신 두세가지 풀이 방법 말고 다른 것이면 다 괜찮나요?

그런데,한 변이 1인 정사각형으로멋진 사각형을 채운다면,항상  실수 부분으로남는 넓이가 남을탠데, 그 부분만 처리하면 되는것 아닌가요?

(저도 잘 이해가 안되서...)

질문입니다.

멋진 사각형을 채우는 작은 멋진 사각형들의 크기가 달라도 되나요?

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이런 식으로 접근하면 될것 같은데...

고차원으로의 약한 일반화입니다.

인 정수 n, m에 대해 서로 평행하지 않은 m개의 정수 길이를 가진 모서리가 있고, 평행하지 않은 두 모서리가 모두 직교하는 n차원 도형을 이라 하자. 이때 에서 두 정수 길이 모서리 중 하나는 자신과 수직하지 않은 모든 면에 자신과 평행하고 길이가 같은 모서리가 있다. 또 다른 정수 길이 모서리는 이와 수직하므로 앞의 경우에 포함되지 않은 면에도 평행하고 길이가 같은 모서리가 있다. 따라서 의 모든 면은 최소한  이며 또한 어떤 면과 평행하게 자른 단면도 그러하다. 이제 를 여러 개 쌓아 더 큰 를 만들었다고 하자. 이것을 자신의 어떤 면과 평행하게 잘랐을 때 이 단면은 그 자신을 구성하던 작은 의 단면인 들의 모임이므로 이다. 따라서 큰 는 전의 단면과 평행한 적어도 하나의 정수 길이의 모서리를 갖는다. 이와 수직하게 자른 단면도 여야 하므로 는 적어도 두 개의 평행하지 않는 두 개의 정수 길이의 모서리를 가진다.

결론적으로, 멋진 도형의 정의를 2개 이상의 정수 길이 모서리로 바꾼다면, 2차원 이상의 임의 차원에서 멋진 직각형 도형을 쌓아 만든 큰 직각형 도형은 멋집니다.

3-2)

악수 풀이로 접근하자. 정수에서의 악수 풀이가 존재하므로 증명에 사용된 명제 ‘큰 사각형의 임의의 꼭짓점에서 시작해 악수를 하면 다른 꼭짓점에 도달하게 된다.’는 한붓그리기 원리에 의해 자명하다.

이제 정의를 정수가 아니라 형식으로 바꿔도 악수의 정의와 앞의 명제 증명에 영향을 미치지 않음을 알 수 있다. 이제 악수를 통해 다른 꼭짓점으로 도달할 수 있으면 시작점과 종점을 꼭짓점으로 하는 변의 길이는 형식들의 덧뺄셈이고 이 형식들의 집합(무리수의 부분집합)은 덧뺄셈에 대해 닫혀 있으므로 변의 길이 역시 형식임을 알 수 있다.

이것을 일반화하면 , (c is constant)에 대해서도 앞의 증명이 자연스럽게 옮겨진다는 것을 확인할 수 있다.

추가 일반화)

이 증명들에서 ‘멋진’의 정의에 영향을 받는 부분은 악수를 통해 갈수 있으면 그 변의 길이 역시 정의에 사용되었던 형식으로 표현된다는 부분뿐이다. 그러므로 다음과 깉이 일반화가 가능하다.

S에 binary operator (addition)이 주어지고 S가 이에 대해 닫혀 있으며 inverse element가 존재한다고 할 때, 멋진 사각형의 정의를 이 집합 S를 사용해 정의해도 정리는 성립함을 알 수 있다.

아 물론 사각형을 정의하려면 S는 실수 부분집합이여야 하죠. 근데 저는 그냥 inverse만 갖는것 말고 좀더 좁게, 그냥 group일때 성립한다고 하는 일반화가 마음이 편합니다.

증명은 의 증명을 한줄한줄 따라가면 되므로 생략

3-2 증명입니다. 알려져 있는 악수의 방법을 간단히 소개해드리겠습니다.

작은 사각형들의 각 모서리에 사람을 한 명씩 배치하고, 길이가 정수인 변을 하나 골라 악수를 시킵니다.

큰 사각형의 모서리에 있는 사람들은 홀수 번씩 악수를 하고, 다른 모서리에 있는 사람들은 짝수 번씩 악수를 하므로 한붓그리기의 원리에 따라 각 모서리가 악수를 통해 연결됩니다.

따라서 큰 사각형은 멋진 사각형입니다.

멋진 사각형의 정의에서 "정수" 대신 ""로 바꿉시다.

라고 합시다. 집합 A가 덧셈과 뺄셈에 대해 닫혀 있다는 것은 자명하게 알 수 있습니다.

큰 사각형의 모서리는 가로 또는 세로로 2개씩 연결될 수 있습니다. 가로로 연결된다고 합시다. 세로로 악수하는 성분들은 중요하지 않습니다. 큰 사각형의 가로는 각 악수의 길이를 더하고 뺀 값입니다. 각 악수의 길이는 A의 원소이므로, 큰 사각형의 가로의 길이도 A의 원소입니다. 따라서 큰 사각형은 멋진 사각형입니다.

3-1.

올려도 되는지도 모르겠고 이 풀이가 맞는지도 모르겠지만 생각보다 간단한 풀이가 생각나서 올려봅니다.

'멋진사각형으로 직사각형을 구성할때 그 직사각형의 두변 모두 정수가 아니게 할 수 없다' 로 바꿔 생각합니다.

먼저 멋진사각형 하나가 존재한다고 가정합니다.

이때 이 직사각형은 멋진사각형이므로 다른 멋진사각형을 더놓습니다.

정수인 변이 정수가 아니여야하므로 새로놓는 멋진사각형에서 정수가 아닌 부분을 기존의 멋진사각형 정수변 옆에 놓습니다.

이렇게 되면 그 변은 정수가 아니지만 새로 놓은 멋진사각형의 정수변에 의해 멋진 사각형이 되지 못합니다.

정수-소수=소수 이므로 변이 뒤틀린 부분은 소수이고 따라서 그 소수를 메꾸는 멋진사각형의 정수변에 의해 다시 정수변이 나타나게 됩니다.

이 과정이 반복되므로 두 변이 모두 정수가 아닌 직사각형은 멋진사각형으로 구성할 수 없습니다. 

친구들, 8월 3일이 지났으니 비밀 댓글을 공개해서 다른 친구들이 볼 수 있도록 해주세요~!!

1-1번: 한 칸의 변의 길이가 0.5라면, 멋진 사각형의 '길이가 정수'인 변의 2분의1이검정, 나머지2분의1이 하양일 것이다. 그러므로 같다.

1-2번: 그런데 1-1번에서 길이가 정수인변이 없으면 두 색의 비율이 다르게 된다.

2,3-1,3-3,3-4번: 만약 꽉 빈틈없이 채울 수 있다면, 그것은 곧 모든 변의 길이가 정수배라는것이다. 그런데, 정수*정수=정수이므로, 멋징 ooo으로 꽉 채울 수 있는 입체도형 또는 도형은 멋진ooo이 된다. 

3-2번: 바로 위 풀이에서처럼 꽉 채우는 것은 모든 변의 길이가 정수배라는 것인데, 그러면 그 비를 n로 했을때, 멋진 사각형의 변의 길이는 an+bn*(루트2)인것이고, a+b*(루트2)랑 식의 형태가 같다.

(논리에 완벽하게 모든 내용을 넣진 않았습니다.)