우리가 당연하게 아는 교환법칙을 증명해봅시다.
1. a+b=b+a임을 증명하시오..
2. 
를 증명하시오.
증명은 쉽지만, 이런 당연한 것들을 증명할 생각을 해보신 적 있나요? 한 번, 이 문제들을 돌아보면서, 자신이 아는 다른 공리들도 증명해보시길 바랍니다.
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애초에 공리가 증명없이 참으로 받아들이는 명제인데 공리를 증명한다는 것이 가능한가요? 교환법칙도 공리인가요?
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'덧셈과 곱셈에서 교환법칙이 성립한다. 즉 덧셈과 곱셈의 계산은 양쪽 항의 순서와는 상관없으므로 양쪽 항의 순서가 바뀌어도 계산 결과는 변함없다' ...고 하면 안되나요?
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일단 기본적인 공리들은 깔아놓아야 하지 않나요? 페아노 공리에서 덧셈의 정의라든지 등은 깔려있어야 공리를 증명할 것 같은데...
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우리가 잘 아는 페아노 공리계입니다.
1. 1은 자연수이다.
2. n이 자연수이면 n 다음수(n')는 자연수이다.
3. n'=1 인 자연수는 없다.
4. m 과 n 이 다르면 m' 과 n' 도 다르고 m' 과 n' 이 같으면 m 과 n 도 같다.
5. P가 1을 포함하고 P에 포함되는 모든 수 n 에 대해 n' 이 P에 포함되면 P는 자연수 전체의 집합이다
여기에서 덧셈 a+b는 a를 a'로 바꾸는 과정을 b번 실행한 것으로 합니다.
a는 0의 다음 수를 찾는 과정을 a번 반복한 것이고 b도 0의 다음 수를 찾는 과정을 b번 반복하는 것입니다.
그렇다면 a+b=(0'''''...)+(0'''''...)이고 여기에서 (0'''''...)위에서 정의한 것을 나타낸 것입니다.
그럼 a+b=(0'''''...)+(0'''''...)은 0의 다음 수를 찾는 과정을 a번 반복하고 b번 반복한 것은 0의 다음 수를 찾는 과정을 b번 반복하고 a번 반복하는 것과 같다고 증명할려고 했는데... 결국 a번 반복하고 b번 반복한것이 b번 반복하고 a번 반복한것과 같다는 것을 증명해야 하니 다시 원점이네요... (결론: 문제를 더 복잡하게 만들어 놨다.)
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그럼 두 번째 문제는 이렇게 하면 되겠네요.
돌멩이들을 a행 b열로 놓고, 90도 돌리면 b행 a열이 되면서도 총 개수는 변하지 않는다고요.
