코딩 수학 6번째 시간입니다. 다들 코딩을 이용해 수학 문제를 효율적으로 풀고 계신가요? 간단한 수학 문제는 손으로도 풀고 코딩으로도 풀 수 있지만, 실생활 문제나 어렵고 복잡한 함수가 포함된 수학 문제는 손으로 풀기 어려운 경우가 많아요. 코딩을 활용하면 쉽게 해결할 수 있으니 열심히 익히고 활용해 보자고요! 

코딩 명령어를 익힌 뒤엔 해당 코딩 명령어로 풀 수 있는 수학 문제를 찾아 댓글로 달고 친구들과 토론해 보세요.

침몰한 배를 찾아라! 미분방정식과 벡터장

이번에 코딩으로 정복해 볼 수학 개념은 '미분방정식'입니다. 미분방정식은 비행기기의 속도 파도의 움직임처럼 시시각각 변하는 대상과 그 대상의 변화율의 관계를 방정식으로 나타낸 거예요.

예를 들어 단위 시간 동안 붕괴하는 방사성 원자핵의 수, 즉 시간에 대한 원자핵 수의 변화율이 특정 시간 에서의 원자핵 수를 나타내는 함수 에 비례하면, 미분방정식은 가 됩니다. 여기서 가 시간에 대한 원자핵 수의 변화율이고, 는 상수예요. 미분방정식을 푼다는 건 함수 를 알아내는 겁니다.

이렇게 미분방정식의 해는 대부분 수가 아닌 함수 같은 '수식'으로 나온다는 게 특징인데요. 이렇게 나온 수식에 특정 값을 대입할 때마다 원하는 값을 얻을 수 있습니다. 위 미분방정식에서 얻은 함수 에  대신 특정 시간을 대입하면 그 시간에 남아있는 원자핵의 수를 알 수 있는 것처럼요.

아이작 뉴턴(1642~1727)과 고트프리트 라이프니츠(1646~1716).

미분방정식을 만들고 해를 찾는 방법을 처음 제시한 사람은 영국 수학자 아이작 뉴턴과 독일 수학자 라이프니츠다. 특히 라이프니츠는 ‘미분방정식’이라는 용어를 처음 사용하고 (변화율을 나타내는 기호)와 같이 현재 미분적분학에서 사용하는 기호들을 소개했다.

미분방정식은 현재 시점에서의 변화를 분석하면 가까운 미래를 정확하게 예측할 수 있어 날씨, 주가 예측 등 활용도가 무궁무진한데요, 문제는 미분방정식의 해를 구하는 게 무척 어렵다는 겁니다. 미국 클레이 수학 연구소가 뽑은 7대 난제 중 하나인 ‘나비에-스토크스 방정식’은 공기와 물 같은 유체의 움직임을 나타낸 미분방정식인데 해를 구하는 건 둘째 치고 유일한 해가 있는지 조차 아직 알 수 없지요.

복잡한 함수를 그래프로 그리면 함수의 성질을 쉽게 파악할 수 있죠? 비슷하게 미분방정식에서는 그래프 대신 ‘벡터장’, 다른 이름으로는 ‘방향장’을 그립니다. 벡터장은 유클리드 공간의 각 점에 벡터_힘, 속도처럼 크기와 방향을 가진 물리량를 대응시킨 건데요, 미분방정식을 알고 있으면 각 점에서 물체가 움직이는 방향과 그 크기를 벡터로 표현할 수 있습니다.

그러면 코딩을 이용해 미분방정식을 벡터장으로 나타내고 일반해를 구해볼까요?

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코 딩 타 임

아래 상황을 읽고 미분방정식을 벡터장으로 나타내는 코딩 명령어를 이용해 침몰한 배의 위치를 추측해보자.

좌표평면 위의 한 지점 (50, 80)에서 침몰하는 배로부터 구조 신호가 왔다. 구조선이 신호가 온 지점 근처까지 가려면 약 1시간이 걸린다. 그런데 통신이 두절돼 1시간 뒤의 위치는 알 수 없다. 다행히 구조대는 근처 해역의 해류의 움직임을 나타내는 미분방정식을 알고 있었다!

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0단계 기초 익히기

벡터장 그리기

❶ var(‘변수’)는 변수를 정의하는 명령어로, ‘’ 사이에 변수를 띄어쓰기로 구분해 지정한다. 예를 들어 좌표평면은 var(‘x y’)이다.  

❷ plot_vector_field((미분방정식), (x축 범위), (y축 범위), aspect_ratio=1)은 벡터장을 그리는 명령어로, 첫 번째 빈 괄호에 미분방정식을 쉼표로 구분해 입력한다.

두 번째와 세 번째 괄호에는 좌표평면의 표시 범위를 쉼표로 구분해 입력한다. 예를 들어 x, y축 모두 0부터 90까지 그리고 싶으면 (x, 0, 90), (y, 0, 90)이라고 쓴다.  

❸ aspect_ratio는 좌표평면의 가로와 세로의 비율로, 가로 길이를 세로 길이로 나눈 값이다.

일반해 구하기

❶ var(‘t’)를 입력해 t를 시간에 관한 변수로 지정한다.

❷ x=function(‘x’)(t)는 x를 변수 t에 관한 함수로 지정하는 명령어다. 다음 줄에 x를 y로 바꿔 y를 t에 관한 함수로 지정하자.

❸ diff(함수)==미분방정식은 미분방정식을 정의하는 명령어다. 괄호 안에는 함수의 분자, 분모를 쉼표로 구분해 입력하고, ==뒤에 식을 넣는다. 첫 번째 식의 이름을 de1이라고 정했다면 de1=diff(x, t)==-2*x+2*y라고 입력한다.

❹ desolve_system([방정식], [변수])은 미분방정식을 푸는 명령어로 일반해를 구하자. 첫 번째 중괄호에는 ❸에서 입력한 미분방정식을 쉼표로 구분해 입력하고, 두 번째 중괄호에는 변수를 넣는다.   

1단계 따라하기 _벡터장 그리기

①벡터장을 그리는 명령어를 이용해 해류의 움직임을 그림으로 나타내자.

②벡터장에서 배의 처음 위치 (50, 80)를 표시한 뒤 해류의 방향을 고려해 배가 어떻게 떠밀려갈지 빨간색 펜으로 표시해보자. 미분방정식의 일반해를 구하면 특정 시간에 배의 위치를 정확하게 구할 수 있다.

2단계 나아가기 _일반해 구하기

❶ var('t')를 입력해 시간 t를 변수로 지정한 뒤 function('x')(t)를 입력해 x를 t에 관한 함수로 지정하고 x라고 이름 붙이자. 마찬가지로 y도 t에 관한 함수로 지정하자.

❷ diff(x, t)== 뒤에 우리가 알고 있는 시간에 따른 x의 변화율을 입력하고 de1이라고 이름붙이자. 시간에 따른 y의 변화율은 x대신 y를 적으면 된다.

❸ desolve_system([de1, de2], [x, y])를 입력하면 일반해 x(t), y(t)를 알 수 있다. 일반해를 항상 구할 수 있는 건 아님을 유의하자. 일반해의 t에 1을 대입하면 1시간 후의 배의 위치를 알 수 있다.

3단계 마무리하기 _동시에 해보기

도전 문제 해역에서 해류의 x축의 시간에 따른 변화율이 y-50, y축 변화율이 –x+50으로 변했을 때 벡터장의 모습을 관찰하고, 어떤 자연현상과 비슷한지 생각해보자.

-끝-