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[잡담] 폴리매스 문제에 참여율이 적네요... 많이 참여해주세요!!(나도 안함....)

뉴＿턴 2020.03.12 02:46 조회 704

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[대한수학회] 대39. Welcome to grid world!

수학동아 2020.03.04

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평면 $\mathbb{R}^2$ 상에 $x$ 좌표, $y$ 좌표가 모두 정수인 점을 격자점이라 한다. 격자점들의 집합을 $\mathbb{Z}^2$ 로 표현하자. $\mathbb{Z}^2$ 상에 $n$ 개의 점 $v_1, \cdots , v_n$ 을 생각하자. 이때 $v_i$ 의 좌표를 $(x_i, y_i)$ 라 하면 $x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i$ 값은 항상 1이 된다. (단, $v_{n+1}=v_1$ 이라 간주하자.)

각각의 $v_i$ 는 하나의 벡터로 이해할 수 있다. 즉, $v=(x, y)$ , $u=(z, w)$ 라 하면, $v+u=(x+z, y+w)$ 이고, 상수 $k$ 에 대하여 $kv=(kx, ky)$ 다. 가령 위 예제에서 $v_1+v_3=(1, -1)=-v_2$ 를 만족한다.

1. 이때 $v_{i-1}+v_{i+1}$ 은 항상 $v_i$ 의 배수임을 보여라. 즉, $v_{i-1}+v_{i+1}+a_iv_i=0$ 을 만족하는 정수 $a_i$ 가 존재한다.

2. $3n+\sum_{i=1}^{n}a_i$ 는 12의 배수가 됨을 보여라.

3. 위 문제2에 의해 $\frac{3n+\sum_{i=1}^{n}a_i}{12}$ 값은 정수임을 알 수 있다. 이 정수의 기하학적 의미를 설명해 보자.

※참고

문제의 이해를 돕기 위해 다음 예를 생각하자. 예를 들어 $v_1=(1, 0), v_2=(-1, 1), v_3=(0, -1), v_4=(1, 0), v_5=(4, 1)$ , $v_6=(3, 1), v_7=(-1, 0), v_8=(0, -1)$ 라고 하면 문제의 조건인 $x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i=1$ 을 만족한다.

$v_1+v_3=(1, -1)=-v_2$ 이므로 $a_2=-1$ 이고, $v_8+v_2=(-1, 0)=-v_1$ 이므로 $a_1=-1$ 이 된다. 이런 방식으로 계산하면 $a_1=-1, a_2=-1, a_3=-1, a_4=4, a_5=1, a_6=1, a_7=-3, a_8=0$ 이다. 따라서 $3 imes 8+\sum_{i=1}^{8}a_i=24$ 이고, 이는 12의 배수다.

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code Lv.4 2020.03.04 비밀댓글

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파스칼 Lv.2 2020.03.04 비밀댓글

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- 파스칼 Lv.2 2020.03.04 비밀댓글
  
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[-]ㅡ[-] Lv.10 2020.03.05

2번 문제에 n이 4일때 12의 배수가 되나요? 제가 문제를 잘못 이해하고 있는거 같은데 누가 좀 알려주세요... a_i가 의미하는게 뭔지 모르겠어요..

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구머 Lv.4 2020.03.05

문제 오류..까지는 아니지만 조금 어색한 부분이 있는 것 같습니다. 문제에서 $y_ix_{i+1}-y_{i+1}x_i$ 의 값이 1이 된다고 했는데, 이 값을 관찰하면 $v_{i+1} imes v_i$ 와 값이 동일함을 알 수 있습니다. 하지만 제 생각에는 $v_{i} imes v_{i+1}=y_{i+1}x_{i}-y_{i}x_{i+1}=1$ 로 정의하는 것이 문맥상 자연스러운 조건이라고 생각합니다.(실제로 문제에서 주어진 예시를 봐도 $y_{i+1}x_{i}-y_{i}x_{i+1}=1$ 이 성립한다는 것을 알 수 있습니다.)

또, 아직 $a_i$ 값에 대해 정확히 정의되진 않았지만, 만약 문제1번의 정의, 즉 $a_i$ 를 $v_{i-1}+v_{i+1}+a_iv_i=0$ 를 만족하는 정수 $a_i$ 라는 정의대로 따라간다면, 문제에서 주어진 예시의 $a_i$ 값들의 부호가 반대로 되있는 것 같습니다.

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- 최기자 Lv.4 2020.03.06
  
  출제하신 교수님께 말씀드려 봤는데 구머 학생의 지적처럼 x_i y_i+1 - x_i+1 y_i=1이 맞다고 합니다. 혼란을 줘서 미안합니다~!
  
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리프 Lv.6 2020.03.07

혹시 비밀댓글 다신 분들 중 2번이나 3번 해결하신 분 있나요?

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- code Lv.4 2020.03.07
  
  전 감도 못잡겠습니다.. 몇몇 특징은 발견하긴 했는데 별 도움이 안되더라고요.
  
  리프님은 2번 어떻게하고 계신지 궁금하네요.
  
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- 리프 Lv.6 2020.03.07
  
  저는 아직 깊게 고민해보지 않아서 2번부턴 못 풀었습니다. 시간 되면 고민해볼껀데 아마도 난이도가 좀 있는 문제일 것 같네요
  
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muse Lv.5 2020.03.10

오! 격자점 문제다! 제가 가장 좋아하는 분야네요.

1번은 쉬운 것 같고, 2~3번 생각해 보겠습니다.

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