우리 인체의 소화관과 눈송이에는 공통점이 있습니다. 어떤 공통점이 있을까요?

정답은 ‘프랙탈과 관련이 있다’는 것입니다. 그리고, 이번에 알아볼 것은 프랙탈입니다!

프랙탈, 프랙탈은 무엇일까요?

프랙탈이란 작은 일부분이 전체와 비슷한(이런 성질을 자기 유사성이라고 부릅니다.) 기하학적 형태를 말합니다.

프랙탈 이라는 말은 어원을 라틴어로 ‘부서진’을 뜻하는 fractus에 두고 있으며 1975년 브누아 망델브로의 에서 사용됐습니다.

프랙탈은 그 말이 1975년에 나왔을 뿐, 이미 프랙탈의 개념은 인지되어 왔습니다.

전구간 미분불능함수의 그래프는 프랙탈의 성질을 띄며, 로그함수를 극좌표로 표현해 그린 그래프는 자기유사성을 띈 프랙탈의 일종입니다.

이 그래프는 자연에서 찾아볼 수 있는데, 대표적으로 앵무조개가 있습니다.

앵무조개가 황금비를 가졌다고 잘못 알려져 있는데, 이는 나중에 제가 기사로 써 보도록 하겠습니다.

프랙탈은 정말 이상한 특징을 가지고 있습니다. 바로 차원이 소수라는 것이죠!

단, 우리가 기존에 알고 있던 차원과는 정말 ‘차원’이 다릅니다.

본디 차원이라는 개념은 '한 점의 위치를 정하기 위해 필요한 최소한의 수치의 개수'로 말할 수 있습니다.

이 경우, 일반적으로는 0차원, 1차원, 2차원, 3차원만을 생각할 수 있지만 차원을 정의하기에 따라서는 정수가 아닌 차원을 생각할 수 있습니다.

먼저, 선분을 2배 크게(길게) 하면 길이는 2배(2^1배)가 됩니다.

정사각형의 한 변의 길이를 2배 길게 하면 정사각형의 넓이는 4배(2^2배)가 되고, 정육면체의 한 모서리의 길이를 2배 길게 하면 정육면체의 부피는 8배(2^3배)가 됩니다.

따라서, 어느 도형의 길이를 x배 확대할 때 그 도형의 길이나 넓이나 부피가 n배 증가하면, logxn을 하우스도르프 차원으로 정의됩니다.

이 정의로는 정수가 아닌 차원이 가능한데, 대표적인 예가 바로 프랙탈입니다.

이 도형은 시에르핀스키의 개스킷(시어핀스키의 삼각형)으로, 정삼각형을 정삼각형 4개로 나누고, 중간 부분을 제거한 후 또 새로 생긴 작은 정삼각형을 나누고 중간 부분을 제거하는 것을 무한히 반복하여 그립니다.

이 도형의 길이를 2배로 만들면 위와 같이 3개의 기존 도형으로 이루어집니다.(빨간색, 노란색, 파란색의 3개.)

따라서 이 도형의 하우스도르프 차원은 logxn≒1.585 차원이 됩니다.

하지만 우리가 기존에 알고 있던 위상적인 차원(르베그 덮개 차원)에서는 2차원입니다.

외국의 수학 개념을 알려주는 유튜브 채널 3Blue1Brown에서는 프랙탈이 자기유사성을 가진 도형이라기 보단 소수차원을 가진 도형이라고 설명합니다.

실제로 많은 프랙탈 도형에서는 정확한 형태의 자기유사성이 성립하지 않기 때문에, 프랙탈 이론에서는 하우스도르프 차원을 통해 프랙탈을 정의하고 분류하는 경우가 많습니다.

다만 프랙탈 도형 중에 정수 차원을 갖는 경우도 있습니다.

대표적으로는 드래곤 커브가 있는데, 긴 띠 모양의 종이를 반으로 접는 걸 반복한 뒤, 종이를 펴서 접힌 부분을 직각으로 세우면 만들 수 있습니다.

또한 위상적인 차원보다 항상 프랙탈 차원이 커지지 않는 경우도 있다 보니 하우스도르프 차원을 항상 사용할 수는 없음에 주의합시다.

대표적인 프랙탈 도형 몇 개를 더 살펴봅시다!

코흐 곡선(코흐 눈꽃, 코흐 눈송이, 눈송이 곡선)

일상적으로는 곡선이 직선의 반의어로 여겨지는데, 사실 코흐 곡선은 죄다 직선으로 이루어져 있으니 어떻게 보면 틀린 명칭입니다.

하지만 조작을 거듭할수록 꼬불거림이 심해지고 곡선과 흡사해지므로 아주 이상한 명칭도 아닙니다.

이 프랙탈은 정말 재미있는 특성을 가지고 있는데, 조작을 무한히 한다고 하면, 선분의 개수가 무한히 늘어나면서 한 선분의 길이는 무한히 짧아지고, 둘레의 길이는 무한히 길어집니다. 하지만 그저 표면적이 늘어날 뿐, 이 코흐 눈송이는 절대로 빨간 원을 벗어나지 않습니다.

정말 효율적인 도형이지 않나요?

이렇게 효율적인 도형을 우리의 몸 속에서 찾아볼 수 있습니다.

바로 소화관과 폐입니다!

인간의 입에서 항문까지의 소화관의 총길이는 8m이고 그 면적은 약 400㎡, 외부와 접촉해 가스를 교환하는 폐의 넓이는 80㎡정도입니다.

몸집이 어느 정도 큰 생물(인간)체의 호흡기관이나 소화기관 등은 에너지 대사를 하기 위하여 표면적이 엄청나게 넓은 구조를 가져야 합니다.

따라서 이런 프랙탈과 유사한 구조를 갖게 된 것입니다.

시어핀스키의 사각형

시어핀스키의 삼각형이 사각형이 된 것이라고 생각하시면 됩니다.

뒤에 나올 맹거 스펀지의 2차원 버전이라 생각하면 되는데, 맹거 스펀지의 한 변은 정확히 시어핀스키의 사각형입니다.

맹거 스펀지

시어핀스키의 사각형이 입체가 됐습니다!

이 도형은 계속 조작을 반복하면 시어핀스키의 사각형처럼 표면적은 무한히 넓어지면서 부피는 0에 수렴하게 됩니다.

시어핀스키의 사각형 또한 계속 조작을 반복하면 넓이가 0에 수렴하게 됩니다.

망델브로 집합

http://guciek.github.io/web_mandelbrot.html#-0.5;0;2;1000 (망델브로 프랙탈을 직접 확대해 볼 수 있는 사이트)

가끔 사상 최악의 방사능 오염치를 보였다는 미스테리 서클 사진으로 올라오곤 하지만, 이건 그저 망델브로가 만든 프랙탈일 뿐입니다.

지금부터는 조금 더 재밌을 유사과학 이야기를 해보겠습니다.

프랙탈 우주론을 아시나요?

자연계에서 작은 스케일의 구조와 큰 스케일의 구조 간에 보이는 형태의 유사성을 소재로 한 유사과학입니다.

라이프니츠가 이 우주론을 발표했을 당시에는 말 그대로 "허무맹랑한 말장난에 불과하다"고 치부했으며 이는 오늘날에 들어서도 마찬가지입니다.

프랙탈 우주론이란 쉽게 설명해 우리가 살아가는 이 우주를 하나의 입자라고 보고, 그 우주를 이루고 있는 무수한 입자들 속에 또 다른 무한한 우주가 재현되고 있다는 이론입니다.

홍채가 성운과 비슷하게 생겼고, 인간의 신경 세포가 우주 거대 구조와 흡사하며, 세포의 분열 과정이 별의 죽음과 비슷한 모양이라는 등의 예를 그 증거로서 제시합니다.

즉, 우주는 누군가의 몸속일 수 있으며, 우리의 몸 또한 수많은 우주로 이루어져 있다는 주장인데, 당연히 과학계에서 진지하게 받아들여지진 않고 어느 정도 과학에 관심이 있는 일반인들에게 단순한 흥밋거리 정도 되는 이야기입니다.

(빠) 오늘의 퀴즈 (밤)

자연에서 찾을 수 있는 프랙탈로는 무엇이 있을까요?

이미지 출처

시어핀스키의 삼각형 : https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8B%9C%EC%97%90%EB%A5%B4%ED%95%80%EC%8A%A4%ED%82%A4_%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95#/media/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:SierpinskiTriangle.PNG

코흐곡선 : https://namu.wiki/jump/f%2FQvru%2FLq4Hw0E%2FLQfEkFM3lebac5uWNr%2FK7WsYOFjwAL17za%2FDs3%2B0prHEKsiu%2BOxbfEo3TJbJc%2F5ZPXXmOzuOWvyGNB5rqf9G1MwwMbdY%3D

시어핀스키의 사각형 : https://namu.wiki/jump/CMQhzP8wpQKHKvzHfglyGJJw%2BN7AryRdYJifJQXT3U14VykJ4W2GRgCjgG6eFDR3oeTWmLDL7xqzywJtiIQrfjtwZ9DwmEIUeuBh7iC0YnQ%3D

맹거 스펀지 : https://namu.wiki/jump/EJf3pF6V%2FbAJEHnjq9r3BkIh%2FheyrYjqqSH6%2FUi0xX2bmmGuHHjozKtShH9F2OXU%2FYcsomCgDwLm7%2Fi0juteuQ%3D%3D

망델브로 집합 : https://namu.wiki/jump/L1UtHYiev5BcZvYNJQSN%2F4HrhaUiU86YJZefblaL6Tau4D8ERoIXC8WvL1Le%2BeqYsXDQiyN5Xb4Q2bjxdehZCA%3D%3D