안녕하세요, 황금 열쇠 입니다.

어제는 광복절 75주년이었죠. 광복절 하면 뭐가 가장 먼저 떠오르시나요? 독립운동, 일본, 원자폭탄, ... 등등 많이 있겠지만 저는 태극기가 떠오릅니다.

우리나라의 자랑스러운 태극기! 태극기 속에 숨겨진 수학을 찾아봅시다!

다각형과 원

다각형이란 선분으로 둘러싸인 평면도형을 말합니다. 예를 들어 볼까요?

                   정삼각형                                      정사각형                                      정오각형

꼭 모든 변의 길이와 각의 크기가 같지 않아도 됩니다. 이런것도 다각형이죠.

            마름모                                                   사각형                                                   물고기...?

다각형을 이루고 있는 선분을 변, 변들이 만나는 점들을 꼭짓점이라고 합니다.

그런데 다각형에는 공통적인 특징이 있습니다. 바로 어떤 경우에든 변의 개수가 3개 이상이라는 것이죠. 변이 2개 이하라고 해봅시다. 막대 2개로 평면도형을 만들수 있는 분 계신가요? 변이 2개 이하일 경우 평면도형이 만들어지지 않기 때문에 다각형의 변의 개수는 무조건 3개 이상입니다.

다각형의 이름은 어떻게 붙일까요? 바로 변이 몇개인지, 각이 몇개인지에 따라 붙입니다. 예를 들어 변이 3개인 다각형은 '삼'각형, 변이 4개인 다각형은 '사'각형이 되는 것 이죠. 이 외에도 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같다면 앞에 '정'을 붙입니다. '정'삼각형, '정'사각형, '정'오각형, ... 이 외에도 각의 크기에 따라 이름을 붙일수도 있고, 변의 길이에 따라 이름을 붙일수도 있습니다. 이등변삼각형, 예각삼각형 등이 그 예입니다.

다각형의 개수와 종류는 무한합니다.

그럼 원은 무엇일까요? 원의 정의는 "한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 점들을 모은 평면도형"이 원입니다. 참고로 원은 다각형이 아닙니다. 좀 어렵다고요? 이런것들이 원입니다.

이러한 원의 정의때문에 그림에서 주황색 선분으로 표시한 원의 반지름들은 모두 길이가 같습니다. 따라서 반지름만 알면 똑같은 원을 계속 그릴수 있죠.

태극기 속 에서 다각형을 찾아볼까요? 일단 4괘는 각각 직사각형들로 이루어져 있습니다. 그리고 가운데 태극 문양은 원으로 이루어져 있죠. 그리고 음양을 나누는 부분을 살펴보면 반원 2개로 모양을 만듭니다. 또 태극기 전체도 직사각형 모양인것을 알 수 있습니다!

태극기 속 길이의 비

태극기를 아무렇게나 그리면 안되겠죠. 태극기에는 복잡하면서도 신비로운 길이의 비들이 숨어있습니다.

태극기에서 기준이 되는 길이는 가운데 있는 태극문양의 지름입니다. 그 길이를 1이라고 했을때 태극기의 가로는 3, 세로는 2가 됩니다. 

또 각 괘들과 태극 문양 사이의 거리는 1/4입니다. 4괘를 직사각형 하나로 봤을때 긴 변은 1/2, 짧은 변은 1/3입니다. 괘들의 세로(짧은 변)은 1/12이고, 괘들 사이의 간격은 1/24입니다. 또한 괘들은 대각선과 수직입니다. 음양 무늬는 직사각형의 대각선위의 지름이 1/2인 반원들로 구분됩니다. 

점대칭과 선대칭

선대칭이란 한 선을 기준으로 도형을 반대로 대칭시켰을때 겹쳐지는 것을 말합니다. 이때 이 선분을 대칭축이라고 합니다. 도형에 대칭축이 있을때 이 도형을 선대칭 도형이라고 부릅니다. 물감을 뭍히고 종이를 접는 데칼코마니도 선대칭의 일종입니다.

선대칭에서 대응하는 점들을 이은 선분은 대칭축에 의하여 이등분되고, 수직으로 만납니다.

그럼 점대칭은 무엇일까요? 한 점으로부터 대응점까지의 길이가 모두 같게 만드는게 점대칭입니다. 이 점을 '대칭의 중심'이라고 부르죠.

참고로 180도 돌렸을때 완전히 겹쳐지면 점대칭 도형이라고 부릅니다.

그럼 태극기 속에서 선대칭과 점대칭을 찾아볼까요? 우선 가운데 태극 무늬는 점대칭도형입니다. 180도 돌려서 겹쳐지죠? 또 각 4괘들은 모두 선대칭 도형, 점대칭 도형입니다. 각 괘들의 대칭축은 모두 2개죠. 그 뿐 아니라 태극기 전체도 괘들 사이 간격을 무시하고 음양 구분을 없애면 이 또한 선대칭 도형과 점대칭 도형이랍니다!

잘 보셨나요? 태극기 속에 이렇게 수학이 많이 숨어있다니 놀랍죠? 여러분들도 직접 태극기나 다른 국기 속에서 수학을 찾아보세요!

오늘의 퀴즈!

태극기 속에 숨겨진 수학이 아닌 것은 무엇일까요?

1. 다각형과 원

2. 태극기 속 길이의 비

3. 점대칭과 선대칭

4. 교집합과 합집합

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자료 출처

태극기 대표이미 : 시흥신문 (http://www.shnews.net/news/articleView.html?idxno=30123)

태극기 길이 비: 수학동아 NAVER 포스트 (https://m.post.naver.com/viewer/postView.nhn?volumeNo=23617812&memberNo=16868720)