안녕하세요? 오늘은 4차원 세계에 사는 초입방체를 인터뷰해보려고 합니다. 우선, 4차원에 대해 말씀드리겠습니다.

차원에 대해 생각해보면, 0차원은 점, 1차원은 직선, 2차원은 정사각형, 3차원은 정육면체가 항상 기본꼴이 되고, 이들에서 확장되어 더 다양한 도형들이 만들어집니다. 우리보다 낮은 차원인 0, 1, 2 차원들은 있는데, 4차원도 있지 않을까요? 여러분, 이제 제 말에 집중해주세요. 눈을 감고, 머릿속에 3차원 정육면체의 형태를 떠올려보세요. 어떤가요? 

(출처 : 위키피디아)

이런 것, 떠올리지 않으셨나요? 자, 그럼 이번에는 4차원의 기본형 초입방체의 형태를 떠올려봅시다. 어떤 그림이 떠오르셨나요?

많은 분들은 정육면체는 잘 떠오르셨을 겁니다. 그런데, 4차원이요? 4차원은 과연 어떻게 생겼을까요?

조금 더 설명드리고 싶지만, 초입방체가 충분히 알려줄 수 있을 것 같네요. 그럼, 지금부터 초입방체와의 인터뷰를 시작합니다!

소피 : 안녕하세요? 자기소개 부탁드립니다.

초입방체(이하 초방) : 아,안녕하세요..? 전 초입방체입니다.

소피 : 초입방체는 4차원의 기본꼴이라고 알고 있습니다. 4차원은 어떻게 생겼나요?

초방 : 3차원 세계에 사는 여러분께는 이해하기 너무나도 어려울 거에요.

소피 : 그럼, 조금 맛만이라도 보고 싶어요. 어떻게 하면 이해하기 조금이나마 쉬울까요?

초방 : 그렇다면, 차원들의 규칙을 살펴볼게요! 0차원인 점은 모든 차원의 근본이 됩니다.

소피 : 1차원인 직선은 점을 한 방향으로 길게 잡아당긴, 혹은 여러 개를 배열한 형태로 볼 수 있겠죠?

초방 : 맞아요! 그렇다면, 2차원, 3차원도 아시나요?

소피 : 2차원인 면은 직선을, 점을 잡아당긴 방향과 직교하는 방향으로 직선을 다시 길게 잡아당긴 형태가 되죠. 그리고, 3차원인 입체는 면을 이번에는 두 직교하는 방향과 모두 직교하게, 즉 '위'로 잡아당겨 만들 수 있을거에요.

초방 : 잘 아시는걸요? 그럼, 제가 표로 정리해볼게요~

소피 : 글씨로만 보니까 조금 헷갈려요. 사진 같은 자료는 없나요?

초방 : 보여드릴게요. 아래 그림이에요. 여기서는 3차원까지, 그리고 X, Y, Z 축만 보면 됩니다.

(출처 : 위키피디아)

소피 : 그림으로 보니 이해가 쉽네요. 정리해주신 표가 4차원과 어떤 관계가 있죠? 이건 저희가 이미 알고 있는 0, 1, 2, 3차원에 대한 얘기 뿐이잖아요.

초방 : 이제 얘기하려고 했어요~ 4차원을 알아보려면 더 낮은 차원에 대해 잘 알아야 한다구요.

소피 : 4차원을 알아보는데 더 낮은 차원이 왜 필요한 것인가요?

초방 : 차원은 규칙성이 있어요. 아는 내용을 바탕으로 다음 차원에 대해 예상해 볼 수 있죠.

소피 : 그렇다면, 1차이 나는 차원끼리의 관계를 알아봐야 겠는걸요?

초방 : 맞아요! (0, 1), (1, 2), (2, 3) 차원의 쌍들끼리 서로의 관계를 알면, 규칙성을 찾아 (3, 4) 차원의 쌍의 관계를 알아낼 수 있고, 따라서 4차원에 대해 예측해볼수 있답니다! 그럼, 지금부터 규칙을 알아볼게요. 1차원은 0차원을 한 방향으로 잡아당깁니다. 2차원은 1차원을 0차원을 잡아당긴 방향과 직교하는 방향으로 잡아당기고요. 3차원은 2차원을 0, 1차원을 잡아당긴 방향과 모두 직교하는 방향으로 잡아당깁니다. 그렇다면 1 차이나는 차원들 사이의 관계를 이번에도 표로 정리해볼게요.

여기서 A는 평면의 한 방향이 되고, B는 이 방향과 직교하는 동일 평면 상의 방향이 됩니다. 또, C는 A, B가 존재하는 평면을 벗어나 '입체'라는 공간에 있습니다. 바로 우리가 '위', 혹은 '아래' 라고 표현하는 '높이' 에 존재하죠.

소피 : 그렇다면...? 4차원은 3차원 정육면체를 A, B, C와 모두 직교하는 새로운 방향 D로 잡아당겨야 하겠어요.

초방 : 정확해요!!! 그러나 3차원의 여러분들은 4차원에만 존재하는 방향 D를 알 수 없죠.

소피 : 그렇기 때문에 저희가 4차원을 이해하기 힘든 거군요. 이 D로 잡아당긴 형태는 어떻게 되나요?

초방 : 3차원의 여러분은 시야로 평면을 봅니다. 세상이 담긴 평면 말이죠. 어찌됬건 여러분의 눈은 바라보는 곳을 평면으로밖에 볼 수 없습니다.

소피 : 아닌데요? 저흰 입체를 봐요! 저희가 평면을 보면 입체인 세상에서 어떻게 살겠어요?

초방 : 이런게 바로 차원의 신비이자 가장 이해하기 힘든 점입니다. 예를 들어볼게요. 당신은 2차원에 사는 정삼각형입니다. 당신은 눈으로 2차원을 볼 수 있겠어요?

소피 : 음... 제가 2차원을 볼 수 있다면 전 2차원 세계의 '위' 에서 관찰하고 있게 되므로 전 2차원에 사는 게 아닌거겠네요...

초방 : 그래요. 그래서 모순되죠. 그렇다면 2차원인 당신은 무엇을 보겠어요?

소피 : 음, 1차원의 직선을 눈으로 보지 않을까요?

초방 : 맞아요. 그럼 3차원인 당신은 무엇을 보겠어요?

소피 : 이, 이차원을 보겠죠...

초방 : 어려워할 것 없어요! 차원은 단지 아는 것에서 규칙을 찾아내 다음 차원을 유추해내는 것 뿐이거든요!

소피 : 이번에도 그림 하나만 보여주시면 안될까요? 점점 4차원으로 올라갈수록 헷갈려지네요..

초방 : 그래요. 이번 그림은 아래와 같아요.

(출처 : 위키피디아)

소피 : 아까 그림과 비슷하네요~! 1차원, 2차원, 3차원 사이의 관계를 자세히 알 수 있고, 4차원은 물론 5차원도 그려져 있군요!

초방 : 맞습니다. 4차원 그림을 자세히 보면, 정육면체(초록)을 평행하게(주황) 잡아당겨서 만든 모습을 보실 수 있습니다.

소피 : 아... 보이기도, 안보이기도 하네요. 좀 더 자세히 보여주세요.

초방 : 아래는 편집한 사진이에요. 출처는 동일하구요.

소피 : 아하! 4차원에서는 저렇게 정육면체끼리 겹칠 수 있군요! 5차원도 저렇게 그려주세요.

초방 : ㅂㄷㅂㄷ...... 힘들다고요!!!

소피 : 앗...

초방 : 게다가 처음에 4차원 알아본다면서요?! 5차원은 왜 필요하신거죠?

소피 : 지,진정하세요...

초방 : 알겠어요... 자, 그래서, 각 차원으로 이동할 때마다 이전 차원을 쭈욱 잡아당긴다고 생각하면 이해하기 쉬워요.

소피 : 그렇군요.

초방 : 이처럼 정사각형이 3차원 공간으로 이동하면서 남기는 흔적이 정육면체가 되는 것처럼 정육면체가 4차원 공간으로 이동하면서 남기는 흔적을 4차원 도형으로 생각할 수 있고, 이 도형을 테서랙트(Tesseract)라고 하며 더 넓은 의미에서 초입방체(hypercube)라고 부릅니다.

소피 : 이제 초방님의 형태를 잘 알 수 있을 것 같아요!

초방 : 제 형태를 잘 알 수 있다...

소피 : 큼큼. 그럼, 이것으로 이번 인터뷰를 마치겠습니다. 초방님, 인터뷰 참여해주셔서 감사합니다.

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오늘의 퀴즈~!

4차원 공간의 기본꼴이 되는 도형의 이름은 무엇일까요?

(1) 직선

(2) 정육면체

(3) 정육각뿔

(4) 초입방체

(5) 정사각형